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$T: V \to V$ es un mapa lineal. Si $\dim(\ker T \cap \text{Im}T)\neq0$ demuestre $\dim\ker T^2\geq2$

$T: V \to V$ es un mapa lineal. Si $\dim(\ker T \cap \text{Im}T)\neq0$ demuestre $\dim\ker T^2\geq2$

por lo que puedo deducir $\dim\ker T\geq 1$ Porque la intersección de la imagen y el núcleo, está contenida en el núcleo.

Y se sabe que $\dim\ker T^2\geq \dim\ker T$

Así que $\dim\ker T^2\geq 1$ . Pero no tengo ni idea de cómo demostrar que no puede ser $1$ .

6voto

jordanfoo Puntos 76

Sea $v \in\ker T \cap \text{im } T$ sea tal que $v \neq 0$ . Entonces hay $u$ tal que $Tu = v$ . Claramente $u, v \in \ker T^2$ .

Queremos demostrar que $u, v$ son linealmente independientes, es decir $u \neq kv$ para cualquier $k \in \mathbb{F}$ .

Si $u = kv$ entonces $Tu = T(kv) = k(Tv) = k(0) = 0$ , así que $v = 0$ una contradicción.

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