Sea $m$ sea un número entero positivo fijo ( $m>1)$ y que $$S_{n,m}=\sum_{k=1}^n({-1})^k{n\choose k}k^{-m}$$ sea una suma parcial de series reales.
Mi pregunta es : ¿Es $\lim S_{n,m} <\infty $ como $ n \to \infty$ ?
Gracias por cualquier ayuda.
Respuestas
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La aproximación a la asintótica, como $n \to \infty$ de sumas de la forma $$ S_n:=\sum_{k=1}^n({-1})^k{n\choose k}f_k \tag1 $$ se conoce como la técnica de las integrales de Rice. La idea es representar la suma como una integral sobre un contorno complejo apropiado y luego evaluarla mediante el cálculo de residuos. El cálculo de residuos aplicado aquí se reduce a la siguiente extracción de coeficientes: $$ \sum_{k=1}^n({-1})^k{n\choose k}\frac1{k^m}=-[s^m]\frac1{\left(1-\dfrac{s}1 \right)\left(1-\dfrac{s}2 \right)\cdots \left(1-\dfrac{s}n \right)} \tag2 $$ y obtenemos, para $m\geq2$ como $n \to \infty$ ,
$$ -\sum_{k=1}^n({-1})^k{n\choose k}\frac1{k^m}=P_m(\log n)+\mathcal{O}\left(\frac{(\log n)^m}{n}\right) \tag3 $$
donde $P_m$ es un polinomio de grado $m$ . El resultado anterior ha sido demostrado por Ph. Flajolet y R. Sedgewick en esta notable papel (pp. 6-7, 1995) donde una forma explícita de $P_m$ se da.
Por ejemplo, tenemos, como $n \to \infty$ ,
$$ \begin{align} -\sum_{k=1}^n({-1})^k{n\choose k}\frac1{k^2}=\frac12 (\log n)^2+\gamma \log n+C_2+\mathcal{O}\left(\frac{(\log n)^2}{n}\right) \tag4 \end{align} $$
o
$$ \begin{align} &-\sum_{k=1}^n({-1})^k{n\choose k}\frac1{k^3}\\&=\frac16 (\log n)^3+\frac{\gamma}2 (\log n)^2+\left(\frac{\gamma^2}2+\frac{\pi^2}{12}\right) \log n+C_3+\mathcal{O}\left(\frac{(\log n)^3}{n}\right) \tag5 \end{align} $$
donde $C_1,C_2$ son constantes y $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.
marty cohen
Puntos
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Puedo demostrar que si $m \ge n-3$ , entonces términos de la suma disminuyen en valor absoluto, por lo que la suma de la serie está entre las dos primeras sumas parciales, es decir, $-n$ y $-n+\frac{n(n-1)}{2\ 2^m} =-n(1-\frac{n-1}{2^{m+1}}) $ .
$S_{n,m} =\sum_{k=1}^n({-1})^k{n\choose k}k^{-m} $
Si $r_k ={n\choose k}k^{-m} $ ,
$\begin{array}\\ s_k &=\frac{r_{k+1}}{r_k}\\ &=\frac{{n\choose k+1}(k+1)^{-m}}{{n\choose k}k^{-m}}\\ &=\frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}\frac{k^m}{(k+1)^m}\\ &=\frac{n-k}{k+1}\frac{1}{(1+1/k)^m}\\ \end{array} $
Si $s_k < 1$ , entonces la serie es alterna con términos decrecientes, por lo que está limitada entre sumas parciales consecutivas.
Para $k \ge n/2$ , $s_k < 1$ .
También, desde $(1+1/k)^m > 1+m/k $ , $s_k <\frac{n-k}{k+1}\frac{1}{1+m/k} =\frac{n-k}{k+1}\frac{k}{k+m} $ , así que $s_k < 1$ si $k(n-k) <(k+1)(k+m) $ o $kn-k^2 <k^2+(m+1)k+m $ o $2k^2+(m+1-n)k+m > 0 $ o $k(2k+m+1-n)+m > 0 $ .
Por lo tanto si $m \ge n-3$ , $s_k < 1$ , por lo que los términos en $S_{m, n}$ disminución en valor absoluto. Por lo tanto la suma está entre dos sumas parciales sumas parciales consecutivas, por lo que $S_{n, m}$ está ciertamente acotada.
