Estoy estudiando un libro de geometría diferencial donde el autor dice: Sea $(M,g)$ sea una variedad riemanniana de dimensión $2$ con coordenadas $(t,x)$ dotado de la siguiente métrica de producto alabeado: \begin{align*} M=\mathbb{R} \times \mathbb{S}^1, \quad g(t,x)=dt^2+f^2(t) dx^2, \end{align*} donde $f: \mathbb{R} \rightarrow (0,\infty)$ es suave, impar con $f^{\prime}(0)=1$ . ¿Podría explicarme estos supuestos sobre $f$ ? Por ejemplo, especulo que $f$ debe ser suave e impar para que se pueda extender a todos los $\mathbb{R}$ ¿verdad? Pero, ¿por qué necesitamos $f^{\prime}(0)=1$ ? ¿Sin pérdida de generalidad?
Respuesta
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AÑADIDO: Explicación más detallada:
Se trata de una métrica sobre un cilindro circular de radio variable. $t$ es una parametrización del eje central, y para cada $t$ , $f(t)$ es el radio del círculo en ese punto del eje.
Si $f$ es impar, entonces $f(0)= 0$ y el cilindro se "aprieta" hasta un punto como $t \rightarrow 0$ . En general, esto da lugar a un cono con un punto singular en $t = 0$ . Una pregunta natural es cuándo la superficie es de hecho lisa con una métrica lisa para $t$ cerca de $0$ .
Los supuestos que $f'(0) = 1$ y $f$ es impar implican que la superficie y la métrica son suaves en el origen. Para ver esto un poco más fácilmente, es mejor cambiar los nombres de las variables de $t$ y $x$ a $r$ y $\theta$ .
Si $x = r\cos\theta$ y $y = r\sin\theta$ entonces $$ dx = dr\,\cos\theta - d\theta\,r\sin\theta\text{ and }dy = dr\,\sin\theta + d\theta\,r\cos\theta $$ Resolución de $dr$ y $d\theta$ obtenemos \begin{align*} dr &= \frac{x\,dx + y\,dy}{r}\\ d\theta &= \frac{-y\,dx + x\,dy}{r^2}. \end{align*} Supongamos ahora que $f$ puede escribirse como $f(r) = r\phi(r)$ . A continuación, utilizando las fórmulas anteriores y haciendo un poco de álgebra, se obtiene \begin{align*} g &= dr^2 + f^2\,d\theta^2\\ &= \frac{(x^2 + y^2\phi^2)\,dx^2 + 2xy(1-\phi)\,dx\,dy + (y^2 + x^2\phi^2)\,dy^2}{r^2} \end{align*} Si $\phi$ es par y $\phi(0) = 1$ entonces es fácil comprobar que esta métrica es suave con respecto a $(x,y)$ incluso en el origen. Estas condiciones sobre $\phi$ son equivalentes a $f'(0) = 1$ y $f$ impar.
Los ejemplos estándar son el espacio plano euclidiano, donde $f = r$ la esfera de radio $R$ donde $$ f = R\sin\frac{r}{R}, $$ y el espacio hiperbólico, donde $$ f = \sinh r $$
