Encuentre $a,b$ y $c$ si $(1+\sqrt[3]{2})^{-1}$ en forma de $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}$

Question

Dado que

$$(1+\sqrt[3]{2})^{-1} =a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}$$ hallar el valor de los racionales $a,b,c.$

Solución que he probado : He intentado racionalizarlo, pero no me sale la respuesta:

$$\frac{1}{(1+\sqrt[3]{2})}\times \frac{(1-\sqrt[3]{2})}{(1-\sqrt[3]{2})}$$

$$\frac{(1-\sqrt[3]{2})}{1-2^{\frac{2}{3}}}$$ así que haciendo así que no conseguir respuesta; también, intenté ampliarlo, pero tenemos condición que $(1+x)^n$ donde $n$ está en fracción puede ser ampliable sólo cuando $x < 1$ pero aquí la raíz cúbica de $2$ no es inferior a $1.$

Gracias

Answer 1

Pista:

Racionaliza el denominador multiplicando arriba y abajo por $1-\sqrt[3]2+\sqrt[3]4$

Answer 2

$\alpha=1+\sqrt[3]{2}$ es una raíz de $(x-1)^3=2$ y así $$3 = \alpha^3 - 3 \alpha^2 + 3 \alpha = \alpha(\alpha^2 - 3 \alpha + 3)$$ Por lo tanto, $$\alpha^{-1}=\frac13(\alpha^2 - 3 \alpha + 3)$$ Ahora usa eso $$\alpha^2 = 1+2\sqrt[3]2+\sqrt[3]4$$

Esta solución funciona en general porque todo número algebraico distinto de cero es raíz de un polinomio con término independiente distinto de cero.

Answer 3

Si se multiplican ambos lados por $1+\sqrt[3]2$ obtienes $$1=(1+\sqrt[3]2)(a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]4)\\ =a+2c+(a+b)\sqrt[3]2+(b+c)\sqrt[3]4$$ que podemos resolver en tres ecuaciones $$1=a+2c\\0=a+b\\0=b+c$$ igualando las partes proporcionales a $1,\sqrt[3]2,\sqrt[3]4$ que dan $$b=-\frac 13\\ a=\frac 13\\c=\frac 13$$

Answer 4

Así que tenemos $\frac 1{1 + \sqrt[3]2}$ y queremos conseguir

$\frac 1{1 + \sqrt[3]2}\frac {something}{something}=\frac{something}{something\ with\ no\ radicals}$

Tomando una página de hacer esto para raíces cuadradas donde, de $a + \sqrt b$ nos damos cuenta $(a+\sqrt b)(a-\sqrt b) = a^2 - b$ que funciona porque $(m-n)(m+n) = m^2 -n^2$ .

Si utilizamos la idea $(m\pm k)(m^{n-1} \mp m^{n-2}k + ......) = m^n \pm k^n$ .

Así que si podemos ver $(1+\sqrt[3]{2})(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2}^2) = 1 + \sqrt[3]2^3 = 1+2=3$

Y $\frac 1{1 + \sqrt[3]2}=\frac 1{1 + \sqrt[3]2}\frac {1-\sqrt[3]2 + \sqrt[3]2^2} {1-\sqrt[3]2 + \sqrt[3]2^2}= \frac {1-\sqrt[3]2 + \sqrt[3]2^2}3=\frac 13 -\frac 13\sqrt[3]2 + \frac 13\sqrt[3]{2^2}$

O $a = c =\frac 13$ y $b =-\frac 13$

Answer 5

Solicitar $a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$ o $$\frac1{a+1}=\frac{a^2-a+1}{a^3+1}$$ a $a = \sqrt[3]{2}$ para obtener,

$$\frac1{1+\sqrt[3]{2}}= \frac{(\sqrt[3]{2})^2-\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2})^3+1 }=\frac13(\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{2}+1)$$