Problema de desigualdad en el que interviene el enésimo número armónico

Question

Sea $\, a_1, a_2, a_3, \ldots \,$ sea una sucesión de números reales positivos que cumplan $\, \sum_{j = 1}^n a_j \geq \sqrt {n} \,$ para todos $\, n \geq 1$ . Demostrar que, para todo $\, n \geq 1, \,$

$$\sum_{j = 1}^n a_j^2 > \frac {1}{4} \left( 1 + \frac {1}{2} + \cdots + \frac {1}{n} \right).$$

Lo he intentado con Cauchy-Schwarz pero no puedo avanzar. Por favor, ayúdenme.

Gracias, señor.

Answer 1

Sea $\Delta_k=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$ para cualquier $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ .
Tenemos $\sum_{k=1}^{m}(a_k-\Delta_k)\geq0$ . Sea $U_m=\sum_{k=1}^{m}(a_k-\Delta_k)$ para cualquier $m\in\{1,2,\ldots,n\}$ .
Por $a_k = (a_k-\Delta_k)+\Delta_k$ y suma por partes que tenemos:

$$\sum_{k=1}^{n}a_k^2 \geq \sum_{k=1}^{n}\left[\Delta_k^2+2\Delta_k(a_k-\Delta_k)\right]\geq\sum_{k=1}^{n}\Delta_k^2+2\sum_{k=1}^{n-1}U_k\left(\Delta_{k}-\Delta_{k+1}\right)$$ y el lado derecho es $\geq \sum_{k=1}^{n}\Delta_k^2$ desde $U_k\geq 0$ y $\Delta_k$ disminuye. Por otra parte $$ \Delta_k = \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}>\frac{1}{2\sqrt{k}} $$ y la afirmación se deduce fácilmente.