¿Cómo cambian los pares propios de una matriz después de una multiplicación de matrices?

Question

Estoy interesado en saber si hay una manera de encontrar los pares propios de la matriz $AT$ o $TA$ de $A$ donde $A$ es una matriz arbitraria y $T$ es una matriz de transformación.

Editar $$AV = \lambda V$$ $$(TA)V_1 = \lambda_1 V_1$$ $$(AT)V_2 = \lambda_2 V_2$$

¿Existe una relación entre $V,V_1,V_2$ utilizando $T$ ?

Answer 1

La multiplicación de matrices corresponde esencialmente a la composición de transformaciones lineales en un espacio vectorial. Por este motivo, no hay razón para esperar que exista una buena relación entre los vectores propios y los valores propios después de la transformación. Por ejemplo $A,T\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ donde $$A=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}, T=R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$ así que $A$ es la identidad, y $R_\theta$ es la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en ángulo $\theta$ . Ahora bien, si $\theta$ es un ángulo genérico como, por ejemplo, $\pi/3$ entonces $T$ no tiene vectores propios, porque todo está rotado y nada tiene una dirección fija. Esto demuestra que no podemos tener algún tipo de relación entre los vectores propios de $A$ y $TA$ ni entre $A$ y $AT$ porque los vectores propios podrían no existir.

Por otra parte, hay algo significativo que decir sobre $TAT^{-1}$ . Observa que, algebraicamente, $TAT^{-1}(Tv)=TAv = T\lambda v = \lambda(Tv)$ dado cualquier vector propio $Av=\lambda v$ . Así, los vectores propios se transforman mediante $T$ y los valores propios permanecen fijos. Esto se debe conceptualmente a que cualquier expresión del tipo $TAT^{-1}$ puede interpretarse como un cambio de base según $T$ y $Tv$ es simplemente la expresión del vector en términos de las nuevas coordenadas. Esto es válido siempre que $T$ es invertible.