¿Cómo definir los límites de esta integral doble?

Question

Tengo el campo vectorial $\mathbf{F}(x, y) = y \mathbf{i} - x \mathbf{j}$ y la superficie $S$ limitado por $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ con $z \geq 0,$ y necesitamos verificar el teorema de Stokes.

La integral de línea es fácil de calcular y es $- 2 \pi.$ Pero estoy confundido sobre cómo evaluar la integral doble $$ \iint_{S} \text{curl} \hspace{.1cm}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$$ porque no sé cómo expresar $S$ (una media esfera) en dos dimensiones. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Hay varias formas de parametrizar esta superficie, las tres más comunes son mediante coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas. La ecuación implícita de la superficie es $x^2+y^2+z^2=9$ con $z\geq 0$ . Resolución de $z$ en función de $x$ y $y$ entonces, la parametrización cartesiana de la superficie es:

$$\begin{cases}\mathbf{r}(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z(x,y)\mathbf{k}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+\sqrt{9-x^2-y^2}\mathbf{k},\\ -\sqrt{9-x^2}\leq y\leq \sqrt{9-x^2},\\ -3\leq x\leq 3.\end{cases}$$

En mi opinión, ésta es probablemente la forma menos elegante de resolver el problema, pero merece la pena hacer los cálculos al menos una vez (considéralo como comerte las verduras).

Dado que la superficie es un hemisferio, las coordenadas esféricas son las que mejor simplifican el problema. Tenemos una superficie a una distancia radial constante del origen, así que parametrizaremos la superficie mediante ángulos polares y azimutales, del mismo modo que parametrizamos la superficie de la Tierra mediante la latitud y la longitud.

$$\begin{cases}\mathbf{r}(\theta,\phi)=3\sin{\theta}\cos{\phi}\mathbf{i}+3\sin{\theta}\sin{\phi}\mathbf{j}+3\cos{\theta}\mathbf{k},\\ 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},\\ 0\leq\phi\leq\pi.\end{cases}$$

Sin embargo, resulta que las coordenadas cilíndricas son las más eficientes de las tres opciones consideradas aquí para realizar los cálculos debido a la simetría cilíndrica del campo vectorial $\mathbf{F}$ . Dejo la configuración de esta parametrización como un ejercicio para el autor de la pregunta, con el incentivo de que si hace el esfuerzo de configurarla, a la larga ahorrará esfuerzo.