¿Existe un grafo hiperbólico transitivo amenizable de grado infinito (finito)?
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Jim
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El artículo de Elek y Tardos citado por Mark no es pertinente en este caso, ya que trata de funciones armónicas acotadas con integral de Dirichlet finita sólo. En caso contrario, no es cierto, como demuestran numerosos ejemplos de grupos susceptibles con límites de Poisson no triviales (por ejemplo, el grupo de las lámparas en dimensiones superiores).
Sin embargo, todavía se puede responder a la pregunta utilizando el límite de Poisson de la siguiente manera. La amenidad de un grafo transitivo es equivalente a la amenidad de su grupo de isometrías (es un teorema de Soardi y Woess). Ahora bien, por un lado, cualquier grupo amenizable lleva un paseo aleatorio con frontera de Poisson trivial (Kaimanovich-Vershik-Rosenblatt), y por otro lado la frontera de Poisson de cualquier paseo aleatorio no degenerado sobre un grupo no elemental de isometrías de un espacio hiperbólico propio es no trivial (ésta es la segunda referencia dada por Mark).
Aquí, "no elemental" significa que el grupo no fija ningún subconjunto finito de la frontera hiperbólica (en realidad, dicho subconjunto fijo no puede constar de más de 2 puntos). De hecho, esta noción puede utilizarse para dar una respuesta mucho más directa a la pregunta original, ya que un grupo de isometrías de un espacio hiperbólico propio es amenable si y sólo si es elemental.
Creo que la respuesta es que toda gráfica de este tipo debe ser cuasi isométrica con respecto a la línea infinita. Fíjate en este documento. El teorema 9 establece que incluso un grafo amenable cuasi-transivo debe tener un límite de Poisson trivial (sin funciones armónicas no constantes). Por otro lado, un grafo hiperbólico transitivo, si no es cuasi-isométrico al grafo de Cayley $\mathbb Z$ siempre tiene un límite de Poisson no trivial. Aquí está demostrado para grupos, pero creo que también funciona para grafos hiperbólicos transitivos.
Edita. Como dice R W, la primera referencia de mi respuesta no es pertinente. Lo bueno es que la afirmación sigue siendo cierta y que se puede demostrar utilizando los límites de Poisson.
