Sobre una cuestión básica de producto tensorial

Question

Intento demostrar que $$ \mathbb{Z} / (10) \otimes \mathbb{Z} / (12) \cong \mathbb{Z}/(2) $$ definiendo un mapa $$ h([a]_{10} \otimes [b]_{12}) = [ab]_2 $$ y extenderlo linealmente. Estoy teniendo problemas tratando de demostrar que este mapa es bien definido en $\mathbb{Z} / (10) \otimes \mathbb{Z} / (12)$ . (Estoy utilizando el definición constructiva de productos tensoriales para el ejercicio). ¡Agradecería mucho cualquier ayuda! Gracias.

Answer 1

Tratar de demostrar en general que $A$ un anillo conmutativo y $I$ , $J$ dos ideales, entonces $A/I\otimes A/J\simeq A/(I+J)$ . Y señalar que $12\mathbb{Z}+10\mathbb{Z}=2\mathbb{Z}$ .

Answer 2

Recordemos la definición constructiva del producto tensorial: Supongamos $M$ y $N$ son $A$ -módulos. Sea $F$ ser el libre $\mathbb{Z}$ -sobre el conjunto de símbolos $\{e_{m,n} \ | \ (m,n)\in M\times N\}.$ Sea $I$ ser generado por $e_{m+m',n} - e_{m,n} - e_{m',n}$ etc (seguro que conoce los demás generadores). A continuación, $F/I$ es un producto tensorial.

Desea definir un $A$ -mapa lineal $h: F/I \to \mathbb{Z}/(2).$ Para ello, defina primero un mapa $h^*: F\to \mathbb{Z}/(2).$ Desde $F$ es un módulo gratuito, se obtiene un $A$ -homomorfismo de módulo asignando donde los elementos de base $e_{m,n}$ ir, extendiéndose linealmente. Definamos $h^*( e_{m,n} ) = mn.$

Ahora comprueba que $h^*$ desaparece en $I.$ Por ejemplo: $$h^*( e_{m+m',n} - e_{m,n} - e_{m',n}) = (m+m')n - mn - m'n =0.$$ Un cálculo similar para los demás generadores de $I$ muestra $I\subseteq \ker h^*.$

Esto significa que $h^*:F\to \mathbb{Z}/(2)$ desciende hasta un $A$ -mapa lineal $h:F/I \to \mathbb{Z}/(2)$ definido por $h(x+I) = h^*(x).$ Este es un caso especial de un hecho general que deberías probar si no lo has visto antes: Si $\varphi: M\to N$ es un $A$ -y $L\subseteq M$ es un submódulo dentro del núcleo de $\varphi$ entonces $\phi: M/L \to N$ definido por $\phi(m+L) = \varphi(m)$ está bien definido $A$ -homormorfismo de módulo.

Esto demuestra que el mapa que ha definido es un mapa bien definido $A$ -que es la parte con la que dijiste que necesitabas ayuda. Si necesitas ayuda para demostrar que el mapa es un isomorfismo no dudes en dejar un comentario diciéndolo.