Operadores compactos entre espacios de Hilbert

Question

Tengo la sospecha de que la siguiente afirmación es cierta, pero no sé cómo demostrarlo. ¿Alguna sugerencia? ¡Gracias a todos!

Sea $X$ , $Y$ sean espacios de Hilbert y sea $T \colon X \to Y$ sea un mapa lineal continuo inyectivo. Supongamos que para cada $\epsilon > 0$ existe un subespacio vectorial cerrado $V_\epsilon \subseteq X$ de codimensión finita tal que $\Vert Tv \Vert_Y \leq \epsilon \Vert v \Vert_X$ para todos $v \in V_\epsilon$ . Entonces $T$ es compacto.

Answer 1

Sea $P_\epsilon$ sea la proyección ortogonal sobre $V_\epsilon$ y $$ T_n := T(\mathbb I - P_{1/n}) $$ $T_n$ es un operador de rango finito y $$ \lVert (T - T_n)v \rVert = \lVert T P_{1/n} v \rVert \leq \frac 1 n \lVert v \rVert $$ y así $$ \lVert T - T_n \rVert \leq \frac 1 n \to 0 $$ Podemos concluir $T$ es compacta porque es límite en la norma de operadores de una secuencia de operadores de rango finito.