De un montón de 4 cartas, se roban dos.

Question

Acabo de tener una discusión con mis compañeros de trabajo sobre este tema.

Si tuviéramos un montón de cuatro cartas. Rey de picas, Rey de corazones, As de picas, As de corazones, cojo dos cartas y las miro. Entonces le digo, sinceramente, que AL MENOS UNA de las cartas que tengo es un As. (P1) ¿Cuál es la probabilidad de que mi otra carta sea el otro as? (P2) Si te digo que la carta que tengo es un as de picas, ¿cuál es la probabilidad de que la otra carta sea el as de corazones?

Ahora bien, estoy bastante seguro de que en cualquiera de los dos casos, la posibilidad de que la otra carta sea 1/3. Pero mi compañero de trabajo jura que es 1/5. Esta es su lógica:

Si permutamos las posibilidades (ignorando el orden), puede haber 6 posibilidades en total:
Ah, As
Kh, Ks
Kh, Ah
Kh, As
Ks, Ah
Ks, As

Si una de las cartas es un As, entonces eso elimina la pareja (Kh, Ks). (P1) Por lo tanto, sólo hay una probabilidad de 1/5 de que la otra carta sea un as. (P2) Si supiera que la carta es un as de picas, entonces eso elimina 3 posibilidades, quedando 3 posibilidades, por lo tanto hay 1/3 de posibilidades de que la otra carta sea el as de corazones.

Mi lógica: Esto es incorrecto porque permutar en el palo de las cartas (Picas, Corazones), no es relevante para la pregunta formulada - no importa cómo organizar los palos, el número de posibles condiciones de victoria no cambian ya que la pregunta sólo pregunta si el VALOR de las cartas (As, rey) son los mismos.

¿Ayuda? ¿Alguien puede ofrecer una explicación comprensible?

Edita:

También he creado un pequeño programa en C# para probar algunos ejemplos de cómo interpreto el ejercicio. Estoy obteniendo 1/3 bastante sólidos. Si alguien se preocupa de volver a comprobar mis implementaciones y señalar los posibles errores, que sería genial. Puede encontrarlo aquí (ejecutable en navegador) - https://repl.it/BsJ9/17

Gracias.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que tu compañero de trabajo tiene razón en el primer caso, y tú en el segundo. Echa un vistazo a esto.

Si etiquetamos las cartas A B C D, por Rey de Picas, Rey de Corazones, As de Picas, As de Corazones, entonces tenemos las siguientes combinaciones.

$AB\quad BA\\AC\quad CA\\AD\quad DA\\BC\quad CB\\BD\quad DB\\CD\quad DC\\$

Esto nos da 10 combinaciones en las que tienes al menos 1 as : $AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, DC, CD$

De ellos tenemos 2 con 2 ases: $CD, DC$ por lo que tiene una probabilidad de $\frac{2}{10}$ o $\frac{1}{5}$ .

Si vamos con su segundo caso - que tenemos el as de espadas $(C)$ entonces tenemos 6 de nuestras combinaciones: $AC, CA, BC, CB, CD, DC$ de los cuales 2 contienen el otro as: $CD, DC$ lo que da una probabilidad de $\frac{2}{6}$ o $\frac{1}{3}$

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

El primer caso es bastante sencillo; hay seis combinaciones de cartas diferentes, y al informarme de que tiene al menos un As ha eliminado una posibilidad (a saber, dos Reyes). Por tanto, la probabilidad es $\frac15$ .

El segundo caso es bastante más delicado y, de hecho, requiere más suposiciones. En concreto, ¿cómo eligió la tarjeta de la que quería hablarme? ¿Lo hizo?

1. dime la primera carta que has cogido (o lo que es lo mismo, selecciona al azar una carta para informar?)
2. ¿siempre piensas denunciar al As de Picas si lo recoges?
3. ¿Seleccionar al azar una carta para informar, pero siempre informar un As si tiene uno?

La probabilidad que buscamos es $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}P(B\,|\,A)$$ donde $A$ es el evento "tienes dos ases" y $B$ es el acontecimiento "tú me dijo tienes el As de Picas". Observe que dependiendo de su regla de selección anterior, la probabilidad de $B$ cambios y pueden ser distintos de $P(C)$ donde $C$ es el acontecimiento "tú tienen el As de Picas".

Si se informa por la regla 1 anterior, entonces tenemos $12$ posibles robos de cartas (donde ahora cuenta el orden). Al decirme que su primera carta era el as de picas, ha eliminado todas menos $3$ roba cartas, así que la respuesta es $\frac13$ .

Si se informa por la regla 2, entonces $B=C\supset A$ y así $$P(A\,|\,B)=\frac{P(A)}{P(C)}=\frac{\frac16}{\frac36}=\frac13.$$ Sin embargo, si se informa por la regla 3, entonces $P(B\,|\,A)=\frac12$ y $P(B)=\frac5{12}$ (fuera del $6$ combinaciones, sin duda informará el As de Picas para $2$ de ellos y tener un $50\%$ oportunidad para $1$ de ellos). Así, $$P(A\,|\,B)=\frac{\frac16}{\frac5{12}}\cdot\frac12=\frac15,$$ que corresponde a la intuición de que no debería importar qué As se informe (lo que tiene sentido, ya que ésta era la opción en la que se informaba al azar).