Desigualdad entre log y e

Question

Necesito demostrar que $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{dx}{|1-e^{2\pi i\tau}|}} \ll -\log y$ donde $\tau = x + iy$ y $0 < y < \frac{1}{10}$ .

Empecé a mostrarlo usando la estimación más baja de la desigualdad triangular, es decir, $$\frac{1}{|1-e^{2\pi i\tau}|} \leq \frac{1}{|1-e^{-2\pi y}|} \> .$$

Entonces, como la integración es con respecto a $x$ parece que tengo que demostrar que esta última es mucho menor que $\log(\frac{1}{y})$ .

¿Lo estoy haciendo bien? ¿Cómo debo proceder a partir de ahora?

Answer 1

Lo que estás haciendo es integrar ${1 \over |1 - re^{i\theta}|}$ sobre el círculo unitario, donde $r = e^{-2\pi y}$ . Geométricamente $|1 - re^{i\theta}|$ es la distancia entre $z = re^{i\theta}$ y $z = 1$ . En $|\theta| < 1 - r$ esta distancia es $O(1 - r)$ por lo que la contribución a la integral para $|\theta| < 1 - r$ será $C{1 \over 1 - r}* 1 - r < C$ .

En $|\theta| > 1 - r$ la distancia es del mismo orden de magnitud que th $z = r$ a $z = r^{i\theta}$ . Desde $r$ está cerca de 1, su integral es del mismo orden de magnitud que $$\int_{|\theta| > 1 - r}{1 \over |1 - e^{i\theta}|}$$ $$= \int_{|\theta| > 1 - r}\frac{1}{|e^{-i{\theta \over 2}} - e^{i{\theta \over 2}}|}$$ $$= \int_{|\theta| > 1 - r}\frac{1}{2|\sin{\theta \over 2}|}$$ Desde $\sin(\theta) \sim \theta$ estás integrando ${1 \over \theta}$ básicamente y su término se convierte en $O(\ln (1 - r))$ . Por tanto, la integral global es $O(\ln (1 - r))$ . Volver a enchufar $r = e^{-2\pi y}$ esto es $O(\ln (1 - e^{-2\pi y}))$ o $O (\ln(y))$ si introduces la expansión de Taylor.

Si quieres pasar de esto a $<< |\ln(y)|$ en lugar de $O(\ln(y))$ puedes usar el hecho de que el primer término es mucho más pequeño que el segundo. Así, en lugar de romper en $|\theta| = 1 - r$ , sepáralo en $|\theta| = N(1 - r)$ para algunos grandes $N$ . Obtendrá una constante correspondientemente más pequeña delante de $|\ln(y)|$ en el segundo término, mientras que el primer término sigue siendo mucho menor, ya que $y$ se hace pequeño.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$|1-\exp(2\pi i(x+i y)|^2=4e^{-2\pi y}(\sinh^2(\pi y)+\sin^2(\pi x))\ .$$ Ahora para $|t|\leq{\pi\over2}$ se tiene $|\sin t|\geq{2|t|\over\pi}$ . Se deduce que para su integral Q se obtiene la estimación $$Q\leq {1\over4}e^{\pi y} \int_{-1/2}^{1/2}{dx\over\sqrt{a^2+x^2}}\ , \qquad a:={\sinh(\pi y)\over 4}\ .$$ Aquí el lado derecho se puede hacer con Mathematica, y después de simplificar obtendrás el resultado $$Q\leq -{1\over2}e^{\pi y}\log(2\sinh{\pi y\over2})\ .$$