¿Smashing siempre aumentar la conectividad de un espacio?

Question

¿Aplastamiento de la punta de CW complejo de $X$ con un arbitrarias señaló CW complejo de $Y$ aumento de la conectividad?

La conectividad de la punta de su espacio de $X$ es el máximo número de $\operatorname{con}(X)$ tal que $\pi_i(X)=0$ todos los $0\leq i\leq\operatorname{con}(X)$.

Más precisamente, la pregunta es: $\operatorname{con}(X\wedge Y)\geq\operatorname{con}(X)$?

Answer 1

Sí. De hecho, $\operatorname{conn}(X\wedge Y)\ge\operatorname{conn}(X)+\operatorname{conn}(Y)+1$ (si ambos $X$ $Y$ están conectados).

(De hecho, si $X$ $n$- conectados, es homotopy equivalente a un CW-complejo de $X'$ uno $0$-célula y no de las células en las dimensiones de $1\le s\le n$. Ahora tenga en cuenta que $S^k\wedge S^l=S^{k+l}$, lo $X'\wedge Y'$ es homotopy equivalente a $X\wedge Y$ y no tiene células en las dimensiones de $1\le s\le n+m+1$.)