Halla los valores de a y k a partir de la curva

Question

El diagrama siguiente muestra una curva con ecuación de la forma ${y = kx(x + a)^2}$ que pasa por los puntos (-2, 0), (0, 0) y (1, 3).

Cuáles son los valores de a y k.

Sé que mis raíces son x = -2, x = 0 y x = 3.

Pero como el intercepto y es 0, no veo cómo puedo obtener valores significativos para k:

${k(x + 2)(x - 3) = 0}$

¿Cómo puedo encontrar los valores de k y a?

Answer 1

Obsérvese que hay una raíz doble en $-2$ ya que la curva es tangente al eje x y una única raíz en el origen. Para hallar $k$ conecte el punto $(1,3)$ y resolver para $k$ .

Answer 2

X= -2 es a doble raíz por lo que, ya que se le dice que es un polinomio debe tener $(x- (-2))^2$ como factor. x= 0 es una raíz por lo que f(0)= 0. f(1)= 3.

Además, esto es claramente no ¡una cuadrática! Tú eres dijo a que la función es de la forma " $kx(x- a)^2$ " no $k(x- 2)(x- 3)$ . El hecho de que x= -1 sea una raíz doble te dice lo que es a. Entonces $k(1)(1- a)^2= 3$ .

Answer 3

$$ y = kx(x + a)^2 $$

Utilizando que la curva incluye $P=(-2,0)$ y $Q=(1,3)$ tenemos $$ 0 = -2 k (-2 +a)^2 \\ 3 = k(1 + a)^2 $$ Observamos que $k \ne 0$ de lo contrario la curva habría sido cero constante. Así que la primera ecuación se convierte en $$ 0 = (a - 2)^2 $$ que da $a = 2$ . Esto convierte la segunda ecuación en $$ 3 = k (1 +2)^2 = 9 k \iff k = 1/3 $$ Gráfico reproducido:

Answer 4

Ten cuidado, $x=3$ no es una raíz. La curva no cruzar el $x$ -eje cuando $x=3$ . Sólo hay dos raíces: $x=-2$ y $x=0$ .

Sabes que $(-2,0)$ , $(0,0)$ y $(1,3)$ son todos los puntos de la curva.

Debe sustituir $x=-2$ y $y=0$ para obtener una ecuación. A continuación, sustituya $x=0$ y $y=0$ para obtener una segunda ecuación. Finalmente sustituye $x=1$ y $y=3$ para obtener una tercera ecuación. A continuación, resuélvelas simultáneamente.

Como bien dices: $(x,y)=(0,0)$ no te da nada.

Cuando sustituimos $(x,y)=(-2,0)$ en $y=kx(x+a)^2$ obtenemos $0=-2k(-2+a)^2$ . Así que, o bien $k=0$ o $a=2$ . Obviamente $k \neq 0$ o toda la cuestión se derrumbaría de $y=kx(x+a)^2$ hasta $y=0$ lo cual no puede ser correcto porque la gráfica original no es la línea $y=0$ . Es decir $a=2$ .

Cuando sustituimos $(x,y)=(1,3)$ en $y=kx(x+a)^2$ obtenemos $3=k(1+a)^2$ . Sabemos que $a=2$ por lo que se convierte en $3=k(1+2)^2$ que a su vez se convierte en $3=9k$ . Esto nos dice que $k=\frac{1}{3}$ .

Dado que $a=2$ y $k=\frac{1}{3}$ la ecuación $y=kx(x+a)^2$ se convierte en $$\color{red}{y=\frac{1}{3}x(x-2)^2}$$