Encuentra los valores de a y k de la curva

Question

El diagrama a continuación muestra una curva con ecuación de la forma ${y = kx(x + a)^2}$, que pasa a través de los puntos (-2, 0), (0, 0) y (1, 3).

¿Cuáles son los valores de a y k?

Sé que mis raíces son x = -2, x = 0 y x = 3.

Pero como la intersección y es 0, no veo cómo puedo obtener valores significativos para k:

${k(x + 2)(x - 3) = 0}$

¿Cómo puedo encontrar los valores de k y a?

Answer 1

Observa que hay una doble raíz en $-2$ ya que la curva es tangente al eje x y una sola raíz en el origen. Para encontrar $k$, sustituye el punto $(1,3)$ y resuelve para $k$.

Answer 2

X= -2 es una raíz doble así que, dado que se te dice que es un polinomio, debe tener $(x- (-2))^2$ como factor. x= 0 es una raíz así que f(0)= 0. f(1)= 3.

Además, ¡esto claramente no es cuadrático! Se te indica que la función es de la forma "$kx(x- a)^2" no $k(x- 2)(x- 3)$. El hecho de que x= -1 sea una raíz doble te dice cuál es a. Luego $k(1)(1- a)^2= 3.

Answer 3

$$ y = kx(x + a)^2 $$

Usando que la curva incluye a $P=(-2,0)$ y $Q=(1,3)$ tenemos $$ 0 = -2 k (-2 +a)^2 \\ 3 = k(1 + a)^2 $$ Nota que $k \ne 0$, de lo contrario la curva sería constantemente cero. Así que la primera ecuación se convierte en $$ 0 = (a - 2)^2 $$ lo cual nos da $a = 2$. Esto convierte la segunda ecuación en $$ 3 = k (1 +2)^2 = 9 k \iff k = 1/3 $$ Gráfico reproducido:

Answer 4

Ten cuidado, $x=3$ no es una raíz. La curva no cruza el eje $x$ cuando $x=3$. Solo hay dos raíces: $x=-2$ y $x=0.

Sabes que $(-2,0)$, $(0,0)$ y $(1,3)$ son puntos en la curva.

Debes sustituir $x=-2$ e $y=0$ para obtener una ecuación. Luego, sustituye $x=0$ e $y=0$ para obtener una segunda ecuación. Finalmente, sustituye $x=1$ e $y=3$ para obtener una tercera ecuación. Después resuelvelas simultáneamente.

Como correctamente dices: $(x,y)=(0,0)$ no te da nada.

Cuando sustituimos $(x,y)=(-2,0)$ en $y=kx(x+a)^2$ obtenemos $0=-2k(-2+a)^2$. Así, o bien $k=0$ o $a=2$. Obviamente $k \neq 0$ o toda la pregunta colapsaría de $y=kx(x+a)^2$ a $y=0$, lo cual no puede ser correcto porque el gráfico original no es la línea $y=0$. Eso significa que $a=2$.

Cuando sustituimos $(x,y)=(1,3)$ en $y=kx(x+a)^2$ obtenemos $3=k(1+a)^2$. Sabemos que $a=2$, por lo que esto se convierte en $3=k(1+2)^2$, lo que a su vez se convierte en $3=9k$. Esto nos dice que $k=\frac{1}{3}$.

Dado que $a=2$ y $k=\frac{1}{3}$, la ecuación $y=kx(x+a)^2$ se convierte en $$\color{red}{y=\frac{1}{3}x(x-2)^2}$$