Parametrización de una curva en el plano complejo

Question

Tengo un poco de problemas tratando de parametrizar el cuadrado con vértices en $\pm1$ y $\pm i $ .

¿Trato cada uno de los lados como una curva individual y veo todo el cuadrado como una pieza?

Answer 1

Quieres $z=x+iy$ para satisfacer $|x|+|y|=1$ con verdaderos $x$ y $y$ por separado siendo tanto positivo como negativo

Podría intentar algo como $$z=\cos(t)|\cos(t)| + i \sin(t)|\sin(t)|$$

Alternativamente, basándose en la expresión polar $r = \frac{1}{| \cos(\theta)| + | \sin(\theta)|}$ podría intentar algo como $$z= \frac{\cos(\theta)}{| \cos(\theta)| + | \sin(\theta)|} + i \frac{\sin(\theta)}{| \cos(\theta)| + | \sin(\theta)|} $$