Son $3$ y $11$ los únicos factores primos comunes en $\sum\limits_{k=1}^N k!$ para $N\geq 10$ ?

Question

La pregunta fue estimulada por este un . Aquí viene:

Cuando miras la suma $\sum\limits_{k=1}^N k!$ para $N\geq 10$ siempre encontrará $3$ y $11$ entre los factores primos, debido a que $$ \sum\limits_{k=1}^{10}k!=3^2\times 11\times 40787. $$ Aumentar $N$ dará lugar a factores $3$ resp. $11$ .

Son $3$ y $11$ los únicos factores primos comunes en $\sum\limits_{k=1}^N k!$ para $N\geq 10$ ?

Creo que hay que demostrar que $\sum\limits_{k=1}^{N}k!$ tiene un factor de $N+1$ porque la próxima suma siempre compartirá el $N+1$ también. Esto ocurre para $$ \underbrace{1!+2!}_{\color{blue}{3}}+\color{blue}{3}! \text{ and } \underbrace{1!+2!+\cdots+10!}_{3^2\times \color{red}{11}\times 40787}+\color{red}{11}! $$

Answer 1

Como se ha señalado en los comentarios, el caso es trivial( al menos si se conocen algunos teoremas) si se fija $n>10$ en lugar de $n>p-1$ para prime $p$ .

Se deduce de Teorema de Wilson que si tiene un múltiplo de $p$ en el índice $n= p-2$ no lo harás en index $p-1$ porque disminuirá de ser uno para ese índice. $p>12$ implica al menos $1$ índice donde NO es múltiplo si funcionó en el índice $11$ . Eso nos deja con $p<12$ que tendrían que ser factores de la suma hasta $p-1$ , $2$ está fuera ya que la suma es impar, $5$ necesidades $24+1+2+6=33$ sea múltiplo de $5$ No lo es. Por último $7$ necesita $1+2+6+24+120+720=873$ sea un múltiplo que obligue a $33$ sea múltiplo de $7$ que no lo es.