$10$ círculos ( $2$ grande de radio $R$ , $6$ pequeño de radio $r$ y 2 pequeños de radio $t$ ) están encerrados en un cuadrado. Cómo hallamos $r$ en términos de $t$ ?

Question

Insertemos $2$ grandes círculos intersecantes de radio $R$ en un cuadrado como se muestra en la siguiente figura. Estos dos círculos están resaltados en verde. En estos $2$ círculos incrustamos $6$ otras más pequeñas de igual radio $r$ (resaltado en naranja).

Finalmente tenemos $2$ círculos del mismo radio $t$ que tocan los círculos grandes (verdes) y el cuadrado.

Cómo podemos encontrar una fórmula que calcule el radio $r$ de la $6$ círculos pequeños al introducir el radio $t$ ?

Una idea para proceder podría ser definir una distancia $d$ desde el centro de uno de los círculos grandes (verde) hasta el punto en el que el radio grande $R$ está tocando uno de los círculos pequeños (naranja). Entonces al menos obtendríamos la ecuación del triángulo pitagórico $r^2+d^2=(R r)^2$ como posible punto de partida útil:

Answer 1

Usando tu detalle y nombres de variables, obtengo esto:

$\sqrt{(R+r)^2 - r^2} = 3d$

$\sqrt{(R+r)^2 - r^2} = 3\sqrt{(R-r)^2 - r^2}$

A partir de ahí, debería llegar a $R = \frac{5}{2}r$ .

Con un poco más de trabajo, la anchura cuadrada es $(5+\frac{\sqrt{10}}{2})r$ .

Ahora bien, esta construcción es para el punto $C$ el centro de uno de los círculos de radio $t$ :

El círculo rojo de construcción, $B$ tiene radio $R$ igual que los círculos verdes. Y tenemos esta proporción:

$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$

Nunca llegué al final del cálculo, pero está todo ahí. Una cosa que hay que tener en cuenta es que ninguno de esos círculos naranjas toca el cuadrado. Cuatro de ellos se acercan bastante, pero no te dejes engañar.

Answer 2

El triángulo azul es fácil y ya ha sido ilustrado por el OP. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el cuadrado es el cuadrado unitario en el plano de coordenadas. Entonces el punto común de tangencia de los dos círculos pequeños es $(1/2,1/2)$ y la distancia entre este punto y un centro del círculo mayor es simplemente $d_1 = \sqrt{2}(1/2 - R)^2$ . Por lo tanto, el triángulo azul corresponde a la ecuación $$2 (1/2 - R)^2 + r^2 = (R - r)^2.$$

Ahora dejemos que $d_2$ sea la distancia desde $(1/2,1/2)$ al punto de tangencia del círculo pequeño que está fuera de uno de los círculos mayores, con la línea diagonal. Entonces debemos tener las condiciones simultáneas $$(d_2 + d_1)^2 + r^2 = (R + r)^2, \\ (d_2 - d_1)^2 + r^2 = (R - r)^2.$$ La solución de este sistema se deja como ejercicio para el lector; tenemos $$\begin{align} r &= \frac{10 - \sqrt{10}}{45}, \\ R &= \frac{10 - \sqrt{10}}{18}, \\ d_1 &= \frac{\sqrt{10} - 1}{9\sqrt{2}}, \\ d_2 &= \frac{2 \sqrt{5} - \sqrt{2}}{9}. \end{align}$$

Observa que esto fija de forma única todos los círculos del cuadrado. Esto significa que los dos círculos tangentes externamente con radio $t$ también se determinan unívocamente, y se demuestra fácilmente que su radio común obedece a la relación $$(1-R-t)^2 + (R-t)^2 = (R+t)^2,$$ o $$t = 1 - 2 \sqrt{R} + R = \frac{28 - \sqrt{10} - 6\sqrt{20 - 2 \sqrt{10}}}{18}.$$

Answer 3

Sean los centros de los círculos verdes $O_1$ (inferior) y $O_2$ (arriba).

Sea $P$ sea el punto medio de $O_1O_2$ que es también el centro de la plaza.

Que los dos círculos naranjas superiores sobre la línea $O_1O_2$ tienen centros $C_1$ (inferior) y $C_2$ (arriba).

Sea $Q$ sea el punto donde el centro del círculo $C_2$ toca la línea $O_1O_2$ .

Ahora bien, si escribimos $O_1P=d$ entonces $O_2P=d$ y puesto que $\triangle O_1C_1P\equiv\triangle O_2C_2Q$ entonces $O_2Q=d\implies O_1Q=3d$ .

Aplicación de Pitágoras a $\triangle O_1C_1P\implies (R-r)^2=d^2+r^2\implies d^2=R^2-2Rr$

Aplicación de Pitágoras a $\triangle O_1C_2Q\implies (R+r)^2=9d^2+r^2\implies 9d^2=R^2+2Rr$

Resolviendo esto se obtiene $$8R^2=20Rr\implies R=\frac{5r}{2}$$

De aquí podemos obtener $$d=\frac15R^2\implies d=\frac{R}{\sqrt{5}}\implies d=\frac{r\sqrt{5}}{2}$$

Ahora dejemos que $B$ sea el centro del círculo azul inferior de radio $t$ y que $BP=y$ .

Aplicación de Pitágoras en $\triangle PC_1B\implies (R+t)^2=d^2+y^2$ $$\implies(R+t)^2-\frac{R^2}{5}=y^2$$ $$\implies \frac45R^2+2Rt+t^2=y^2$$

Por lo tanto, $$y^2=5r^2+5rt+t^2$$

Consideremos ahora las longitudes de las diagonales del cuadrado: tenemos $$2(y+t\sqrt{2})=2d+2R\sqrt{2}$$ $$\implies y+t\sqrt{2}=d+\frac52r\sqrt{2}=r\left(\frac{\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{2}\right)$$

Sustituyendo por $y$ ahora tenemos $$5r^2+5rt+t^2=\left[r\left(\frac{\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{2}\right)-t\sqrt{2}\right]^2$$

Así, para un valor dado de $t$ puede obtener $r$ resolviendo una ecuación cuadrática:

$$r^2\left(\frac{35+10\sqrt{10}}{4}\right)-rt(15+\sqrt{10})+t^2=0$$