Como sugiere el título, me gustaría saber si es posible que una distribución y su gradiente (distribucional) tengan el mismo valor. finito y mayor o igual que uno orden.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(Hay algunas complicaciones debidas al "apoyo", que creo que son irrelevantes para la pregunta... así que considero que soporte_compacto distribuciones...)
Una distribución de soporte compacto es una función lineal continua en algún $D_E$ es decir, funciones suaves sobre un conjunto compacto $E$ . La topología en $D_E$ es la topología del espacio de Frechet de la colección contable de seminormas $|f|_k=\sum_{j\le k} \sup_{x\in E} |f^{(j)}(x)|$ .
La topología límite proyectiva (que es correcta en todos los sentidos...) indica que una funcional lineal continua (como una distribución) factores a través de la topología de algún "limitand", lo que significa que es continua con respecto a algún finito colección de estos seminormales.
En concreto, el "orden/grado/lo que sea" de una distribución en $D_E$ es el más pequeño $k$ tal que sea continua con respecto a la $|\cdot|_k$ topología.
Es un ejercicio de cálculo razonable encontrar funciones explícitas, bastante elementales, que sean continuas en el $k$ -ésima topología, pero no la $k-1$ ...y así sucesivamente.
EDIT: en respuesta a una pregunta posterior... y para ser más precisos/explícitos: si una distribución es continua en lo_mejor una seminorma/topología particular, esto es exactamente declarar que no es continua en ninguna más.
Sea lo que sea lo que esto signifique/implique exactamente, es efectivamente definitorio que un funcional continuo en una topología particular pero no más fina... no es continuo en ninguna más fina.
El/cualquier operador de derivación naturalmente mapea de un TVS a otro, y la topología "pierde" un grado de diferenciabilidad. No es sorprendente, teniendo en cuenta la definición.
Así que, en realidad, es definitorio (a menos que uno de alguna manera no puede creer que hay funciones que son tanto diferenciables, pero no tanto ...)
