¿Cómo puedo verificar que $\sin (\theta)$ y $\cos (\theta)$ ¿son funciones?

Question

Estoy estudiando matemáticas de pre-cálculo en este momento, y necesito ayuda para verificar si $\sin (\theta)$ y $\cos (\theta)$ ¿son funciones? Quiero demostrar que para cualquier ángulo $\theta$ que sólo hay un valor asociado de $\sin (\theta)$ y $\cos (\theta)$ . ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Normalmente se empieza estudiando el $\sin$ en relación con los triángulos rectángulos. Aquí no se cuestiona la noción de ángulo, por lo que me atendré a este concepto intuitivo. De ello se deduce que tenemos $\sin \theta$ definido para $0\leq\theta\leq{\pi\over2}$ .

Como siguiente paso se consideran los ángulos polares en el $(x,y)$ -medido en el sentido contrario al de las agujas del reloj a partir del positivo $x$ -y se identifican estos ángulos con la longitud del arco correspondiente en el círculo unitario $S^1$ . En $0\leq\theta\leq{\pi\over2}$ entonces $\sin\theta$ es el $y$ -coordenada del punto de intersección del segundo cateto del ángulo en cuestión $S^1$ . Entonces natural definir $\sin \theta$ para todos $\theta\in[0,2\pi]$ de este modo, y un paso más conduce a la definición de $\sin\theta$ para todos $\theta\in{\mathbb R}$ : Para $\theta>0$ carrete un hilo de longitud $\theta$ en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de $S^1$ con punto inicial en $(1,0)$ . En $y$ -coordenada del punto final es entonces definido ser $\sin\theta$ . Es entonces intuitivamente obvio que la función $\sin$ es periódica.

Todo esto suena muy sencillo y natural. Las dificultades comienzan cuando intentamos precisar matemáticamente el proceso de pensamiento anterior. En primer lugar, necesitamos una noción precisa de ángulo: la geometría euclidiana axiomática permite comparar y sumar ángulos, pero no proporciona una identificación de los ángulos con los números reales, que es inherente al concepto de la $\sin$ función.

Answer 2

La prueba se basa simplemente en triángulos semejantes. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo $\theta$ entonces los otros dos ángulos son $90^{\circ}$ y $(90-\theta)^{\circ}$ . Si dos triángulos tienen los mismos ángulos, son semejantes.

Mi imagen muestra dos triángulos similares: $\triangle OAB$ y $\triangle OA'B'$ .

Desde $\theta = \angle AOB$ entonces, por definición $$\sin\theta = \frac{\|AB\|}{\|OB\|}$$

Desde $\theta = \angle A'OB'$ entonces, por definición $$\sin\theta = \frac{\|A'B'\|}{\|OB'\|}$$

Podemos demostrar que $\sin \theta$ tiene un único valor si podemos demostrar que los dos coeficientes coinciden.

Sea $T$ sea la transformación lineal dada por una ampliación, centro $O$ con factor de escala $\lambda$ tal que $T(A) = A'$ y $T(B) = B'$ . Tenemos $\|A'B'\|=\lambda\|AB\|$ y $\|OB'\| = \lambda\|OB\|$ Por lo tanto $$\frac{\|A'B'\|}{\|OB'\|} = \frac{\lambda\|AB\|}{\lambda\|OB\|}=\frac{\|AB\|}{\|OB\|}$$

Esto demuestra que la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa es la misma para dos triángulos rectángulos semejantes cualesquiera con ángulo $\theta$ . Esto significa que $\sin\theta$ está unívocamente bien definida.

(N.B. La similitud permite la rotación y la reflexión, así como la ampliación. Sin embargo, las rotaciones y las reflexiones conservan las longitudes y, por tanto, conservan los cocientes de longitudes).

Answer 3

Me temo que desde el punto de vista del precálculo, no existe una definición consistente de las relaciones funcionales que permita discutirlas como funciones reales (de valor real en una variable real).

La gran laguna que hay que colmar es la noción de ángulo. En geometría, un ángulo se define por un par de rayos que parten de un mismo punto. Suelen darse en las esquinas de los triángulos. Todos los pares de rayos geométricamente similares definen el mismo ángulo. Se puede disponer un par de rayos equivalentes de modo que el primer rayo apunte horizontalmente hacia la derecha; entonces, el segundo rayo se caracteriza unívocamente por un punto del círculo unitario (después de fijar un origen y una longitud unitaria). Las coordenadas de ese punto son entonces el coseno y el seno de esa (clase de equivalencia de) ángulo(s).

Entonces hay algunos ángulos que se pueden construir y calcular geométricamente construyendo n-gons regulares y dividiendo así el círculo unitario en n partes iguales. n=3,4,6,8,12 son fáciles, n=5 es posible sin demasiado esfuerzo. Por bisección se puede encerrar cualquier otro ángulo en fracciones del círculo completo, partiendo de estas fracciones conocidas, pero esto se acerca a los argumentos límite, que ya es cálculo.

Se pueden identificar puntos del círculo unitario con matrices de rotación o números complejos, lo que simplifica la aritmética angular. Duplicar un ángulo es elevar al cuadrado la matriz o el número complejo, bisecar un ángulo corresponde a una raíz cuadrada. Esto da ecuaciones funcionales que en sus componentes son las identidades trigonométricas. Exigiendo continuidad y diferenciabilidad en el ángulo cero también se obtendrán las funciones trigonométricas como soluciones únicas. Sin embargo, esta unicidad se impone de nuevo mediante argumentos de cálculo.

Answer 4

De la definición de $\sin(\theta)$ en función de la longitud de $\theta$ lado opuesto de la hipotenusa ( Wikipedia ).

Siempre que la longitud de la hipotenusa no sea igual a cero (de lo contrario, el triángulo degenera en recta o punto), la división es una función que arroja un único valor asociado.

Answer 5

Más concretamente, en Análisis, sen(x) se define como el límite de una serie específica.

Antes, sabemos que la serie de abajo converge para cada $x\in\mathbb{R}$ : $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$ Y luego definimos : $$\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$ Según esta definición, $\sin(x)$ tiene todas las propiedades de la definición elemental (razón de lados en un triángulo rectángulo).