Añadir algo a la gran respuesta de whuber . Digamos que usted tiene $k$ variables aleatorias independientes $X_1, X_2,..., X_k$ distribuido normalmente con media $m_i$ y varianza $\sigma_i^2$ para $i=1,...,k$ .
Ahora, supongamos que $\sigma_i = f(m_i)$ y $f$ es una función conocida. En situaciones sencillas podemos adivinar esta función, por ejemplo a partir de un gráfico de la desviación típica y la media muestrales. Queremos encontrar una transformación de este tipo $t$ que una secuencia de variables aleatorias independientes $Y_1 = t(X_1),...,Y_k = t(X_k)$ tiene (al menos aproximadamente) una varianza constante $\mathrm{Var}(Y_i) = const$ para $i=1,...,k.$
Se puede utilizar la expansión de Taylor en torno a la media para conseguirlo de la siguiente manera
$$Y_i = t(X_i) \approx t(m_i)+t'(m_i)(X_i-m_i).$$
La condición de varianza constante conduce a la ecuación diferencial $t'(x)f(x)=c$ y la transformación $t$ tiene la forma $$t(x)=c_1 \int \frac{1}{f(x)}dx + c_2,$$
donde $c_1$ y $c_2$ son constantes. Obsérvese que si $f(x)=x$ entonces la transformación es $t(x)=ln(x).$ Si $f(x) = x^\alpha$ ( $\alpha \neq 1$ ), entonces la transformación es $t(x) = \frac{1}{1-\alpha}x^{1-\alpha}.$ Utilizando el hecho bien conocido de que $\lim_{x\to0} \frac{a^x-1}{x} = ln(a)$ finalmente conseguimos
$$t_\lambda(x) = \begin{cases} \frac{x^{\lambda}-1}{\lambda} & \lambda \neq 0 \\ ln(x), & \lambda = 0 \end{cases} $$
para $x>0$ que es la familia de transformaciones de Box-Cox. Transformación $t_\lambda(x)$ corresponde a $f(x) = x^{1-\lambda}.$
