Pregunta sobre las unidades en un campo numérico cúbico

Question

Si $K$ es una extensión cúbica de $\Bbb Q$ (los números racionales) que sólo tienen una incrustación real en $\Bbb R$ ( los números reales), entonces ¿por qué las unidades en el anillo de los números enteros deben ser de la forma $\pm u^k$ donde $u (>1)$ ¿es la unidad fundamental?

Conozco el teorema de Dirichlet de las unidades.

Mi pregunta es :

1) ¿Por qué $\pm 1$ son las únicas raíces de la unidad en el anillo de los enteros en $K$ .

2) ¿Por qué $u$ sea un número entero en $\Bbb Z$ y por qué debería serlo $>1$ .

Esta suma es necesaria para el problema 35 del capítulo 5 de marcus.

Por favor, ayuda. Estoy atascado con los fundamentos...

Answer 1

Las raíces de la unidad no encajan bien dentro $\mathbb{R}$ : desde nuestro campo $K$ tiene una incrustación real, esto nos dice que $K$ sólo tiene la segunda raíz de la unidad.

En la incrustación real de $K$ cualquier generador de nuestro grupo unitario es claramente real, y como se señala en los comentarios, habrá un único generador mayor que 1.

Sin embargo, si no estamos considerando una incrustación real, entonces no es el caso que el generador deba ser real. Por ejemplo, $K=\mathbb{Q}(2^{1/3})$ es un campo con una incrustación real. En la incrustación real, se puede comprobar que $u = 2^{1/3} - 1$ es una unidad fundamental mayor que 1. Si consideramos este elemento en una de las incrustaciones no reales obtenemos, por ejemplo, $v = \omega 2^{1/3} - 1$ donde $\omega$ es una tercera raíz primitiva de la unidad esto definitivamente no es real. Los únicos generadores de la parte del grupo unitario que no es de torsión son $\pm v^{\pm 1}$ ninguno de los cuales es real.

El ejercicio de Marcus lleva implícito que estamos considerando la incrustación real de $K$ .