Tengo esta integral de alguien que me dijo que tiene una bonita respuesta. $$I=\int_{|z|=2} \frac{z^3 e^{\frac{1}{z}}}{z+1}dz$$ Intenté evaluar esto usando el teorema de los residuos, y expandí en series para encontrar el residuo en $\infty$$$ f(z)=z^3[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n!)z^n})] $$ And with Cauchy product:$$ f(z)=z^3(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k z^{2k-n}}{(n-k)!}) $$ Now I am lost, how can I find the coefficient of $ z^{-1}$ en esta serie doble? Parece que no es un simple número... ¿O debo usar otro método?
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Sustituir $u = \frac 1z$ por lo que la integral es sobre el círculo $|u| = 1/2$ y ahora va en el sentido de las agujas del reloj. $z = \frac 1u$ Así que $dz = -\frac{1}{u^2} du$ por lo que los signos menos se anulan $$\begin{align}I &= \int_{|u| = \frac{1}{2}} \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^3 e^u}{\frac{1}{u} + 1} \frac{1}{u^2}\, du\\ &=\int_{|u| = \frac{1}{2}} \frac{e^u}{u^4(u+1)}\,du.\end{align}$$ Entonces tenemos que encontrar el residuo de $f(z) = \frac{e^u}{u^4 (u+1)}$ en $0$ lo que puede hacerse utilizando una serie de Taylor estándar.
$$\begin{align} \frac{e^u}{u^4 (u+1)} &= \frac{1}{u^4}\left(1+u+\frac{1}{2}u^2 + \frac{1}{6}u^3+O(u^4)\right)\left(1-u+u^2-u^3 + O(u^4)\right) \\ &=\frac{1}{u^4}\left(1+u(1-1)+u^2\left(1-1+\frac{1}{2}\right)+u^3\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+1-1\right)+O(u^4)\right) \\ &=\frac{1}{u^4}\left(1+\frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{3}u^3 + O(u^4) \right) \\ &=\frac{1}{u^4}+\frac{1}{2u^2}-\frac{1}{3u}+O(1).\end{align}$$ Por lo tanto, el residuo de $f(z)$ en $0$ es $-\frac{1}{3}$ y la integral es $-\frac{2\pi i}{3}$ .
Anthony Shaw
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Para $|z|\ge2$ , $$ \frac{z^3e^{1/z}}{z+1}=\frac{z^3}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}+\frac12\frac{z}{z+1}+\frac16\frac1{z+1}+O\!\left(\frac1{z^2}\right) $$ Dado que las singularidades de $\frac{z^3e^{1/z}}{z+1}$ están todos dentro $|z|=2$ las integrales sobre $|z|=R$ son iguales para todos $R\ge2$ . Por lo tanto, $$ \begin{align} \int_{|z|=2}\frac{z^3e^{1/z}}{z+1}\,\mathrm{d}z &=\int_{|z|=2}\left(\frac{z^3}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}+\frac12\frac{z}{z+1}+\frac16\frac1{z+1}\right)\mathrm{d}z\\ &=2\pi i\left(-1+1-\frac12+\frac16\right)\\[3pt] &=-\frac{2\pi i}{3} \end{align} $$
