Sea F una función integrable de Lebesgue sobre $(0,\infty)$ . Para $0 \le t < \infty$ define $g(t)=\int_{0}^{\infty} e^{-tx}F(x)dx$ . ¿Puede alguien explicar por qué $g$ y $g'$ son continuas en $(0,\infty)$ ?
Respuesta
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- Sea $t_n \rightarrow t$ mostramos $\lim_n g(t_n) = g(t)$ mostrando básicamente $$\lim_n \int_0^\infty e^{-t_n x}F(x) dx = \int_0^\infty \lim_n e^{-t_n x}F(x) dx.$$
Claramente $e^{-t_n x}F(x) \rightarrow e^{-t x}F(x)$ puntualmente a.e. entonces sólo necesitamos usar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue para pasar el límite. Esto es fácil ya que $e^{-t_n x} < 1$ .
- Para la derivada, mostramos $$g'(t) = \frac{d}{dt}\int_0^\infty e^{-t x}F(x) dx = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial t}e^{-t x}F(x) dx$$ Lo anterior es lo mismo que mostrar $$\lim_{h\rightarrow 0} \int_0^\infty \frac{e^{-(t+h) x} - e^{-(t) x}}{h}F(x) dx = \int_0^\infty \lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{-(t+h) x} - e^{-(t) x}}{h}F(x) dx \\= \int_0^\infty -x e^{-t x}F(x) dx$$
Entonces como $h\rightarrow 0$ tenemos $\frac{e^{-(t+h) x} - e^{-(t) x}}{h}F(x) \rightarrow -x e^{-t x}F(x)$ puntualmente a.e. Ahora observe que la función $-x e^{-t x}$ está realmente acotada uniformemente en $x$ para cada $t\in (0,\infty)$ por lo que no debería ser difícil encontrar una función de delimitación.
Utilizando el teorema del valor medio para el numerador $e^{-(t+h) x} - e^{-(t) x}$ y añadiendo el valor absoluto a ambos lados tenemos $$|e^{-(t+h) x} - e^{-(t) x}| = xe^{-cx} |h| \quad\text{ for some } c\in(t,t+h)$$ y utilizando la monotonicidad, ya que $t<c$ tenemos $$xe^{-cx} \leq xe^{-tx}$$ entonces $$\frac{e^{-(t+h) x} - e^{-(t) x}}{h} \leq \frac{xe^{-tx}|h|}{|h|} = xe^{-tx}.$$ Desde $xe^{-tx}$ está acotada, entonces $xe^{-tx}|F(x)|$ es integrable, y será nuestra función límite.
