Me han pedido que encuentre una parametrización para la superficie $9=x^2+z^2,0\leq y\leq4$ y reescribimos la integral de superficie $\iint y dS$ como una integral doble.
Creo que la parametrización debería ser así.
$y=y,$ $ x=f(y)\cos\theta,$ $z=f(y)\sin\theta,$ $ 0\leq y\leq4 ,$ $0\leq \theta\leq2\pi $
Entonces debería haber $\textbf{r}(t)=\langle 3 \cos \theta,y,3\sin\theta\rangle$
Sin embargo a partir de este punto no estoy seguro de cómo convertirlo para llegar a la forma $A(S)=\iint| \textbf{r}_u \times \textbf{r}_v|dA$
Así que, basándome en la respuesta de Mhenni Benghorbal, debería llegar a $| \textbf{r}_u \times \textbf{r}_v| = \sqrt{9\cos^2v + 9\sin^2v } = 3$
Por tanto, la integral de superficie es $\iint y dS = \iint u|\textbf{r}_u \times \textbf{r}_u|dA=\int^{2\pi}_0 \int^4_0 3v$ $du$ $dv = \int^{2\pi}_0 12dv = 24\pi$
