Inyectabilidad del mapa factorial $f:\mathscr P(\Bbb N) \to \Bbb R$ , $f(I) = \sum_{n \in I} \frac 1 {n!}$

Question

Nota: A efectos de esta pregunta, $\Bbb N$ no incluye $0$ .

Tengo una función $f:\mathscr P(\Bbb N) \to \Bbb R$ definido por: $$f(I) = \sum_{n \in I} \frac 1 {n!}$$

Se trata esencialmente de una transformación a partir de secuencias binarias indexadas por $\Bbb N$ a un número en $\Bbb R$ .

Me gustaría demostrar que esta función es inyectiva.

Answer 1

Sugerencia Primero demuestre que $f(\{k\}) > f(\{k + 1, k + 2, \ldots\})$ para todos $k \in \Bbb N$ .

A continuación, considere elementos distintos $I, J \in \mathscr{P}(\Bbb N)$ y el más pequeño $k \in \Bbb N$ que está en uno y no en otro. (Probablemente también querrá utilizar el hecho aparente de que $f$ es monótona bajo inclusión, es decir, que si $I \subseteq J$ entonces $f(I) \leq f(J)$ .)