distancia supuesta en espacios métricos

Question

Determinar si la distancia entre los no vacíos $A,B\subset X$ para el espacio métrico $X$ si A y B están cerrados.

La definición de distancia entre los conjuntos A y B es $d(A,B)=\inf\{d(a,b)|a\in A, b\in B\}$ y la distancia se "supone" si $\exists a_o\in A, b_o\in B$ : $d(A,B)=d(a_o,b_o)$ .

Estoy tratando de ver cómo podría ser el caso de que $A,B$ cerrado $\implies$ $d(A,B)$ asumido. ¿Es porque los conjuntos cerrados contienen todos sus puntos de acumulación?

Answer 1

No es el caso. Consideremos las dos curvas de $\mathbf{R}^2$ , $A=\{(x,-1/x)\mid x<0\}$ y $B=\{(x,1/x)\mid x>0\}$ . $d(A,B)=0$ pero $d(u,v)>0$ para todos $u\in A$ y $v \in B$ .