Dimensión del espacio de Hilbert de espín $1/2$ ¿partículas idénticas?

Question

Consideremos un sistema de $N$ gire $1/2$ partículas. Supongamos que el espín es el único grado de libertad y, por tanto, no hay componente espacial. Entonces la dimensión del espacio de Hilbert en este caso es $2^N$ . Esto se deduce porque en este caso tenemos $j_1 = j_2 = \ldots = j_N = 1/2. $ Y la dimensión del espacio producto es $$ (2j_1 + 1) (2j_2 + 1) \ldots (2j_N + 1). $$

Supongamos ahora que estas partículas obedecen a la estadística de Fermi-Dirac porque son fermiones idénticos. Ahora me piden que determine la dimensión del espacio vectorial.

No entiendo muy bien la respuesta. La respuesta que dio mi profesor es: Según el principio de exclusión de Pauli, no hay dos partículas que puedan ocupar el mismo estado cuántico. En este caso sólo tenemos dos estados (espín arriba, espín abajo). Así que sólo hay dos opciones:

$$ N=1 : \qquad \mid + \rangle, \quad \mid - \rangle \qquad \dim = 2 $$ $$ N=2 : \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( \mid + \rangle \mid - \rangle \ - \ \mid - \rangle \mid + \rangle \bigg) \qquad \dim = 1. $$

No entiendo cómo se obtienen estas dimensiones. No veo cómo el principio de Pauli puede ser importante para determinar la dimensión. Las partículas sólo llenarán los niveles de energía más bajos (sin que más de dos ocupen el mismo estado). ¿Eso no significa que sólo haya dos estados? También se caracterizarían por el número cuántico $n$ ¿por ejemplo?

Answer 1

Si el espín es el único grado de libertad, eso también significa que todas las partículas de su sistema tendrán los mismos números cuánticos para cualquier propiedad que no sea el espín. Esto hace que tu argumento sobre ocupar los niveles de energía más bajos sea algo redundante, ya que sólo hay un nivel de energía. Por lo tanto, no puedes tener más de dos partículas en tu sistema, ya que sólo hay dos posibilidades para el espín de un espín $\frac{1}{2}$ partículas. Una tercera partícula tendría necesariamente el mismo espín que una de las otras dos y, por tanto, se violaría el principio de exclusión de Pauli.

Veamos ahora la dimensión del espacio de Hilbert en ambos casos. En el caso $N = 1$ es obvio que la partícula tiene spin up o spin down. En el caso $N = 2$ sin embargo, debería tener un espacio de Hilbert de dimensión $4$ ya que $2^2 = 4$ . Pero debido al principio de exclusión de Pauli, ambas partículas no pueden tener el mismo estado de espín. No pueden tener ambos 'espín arriba' o 'espín abajo' porque eso violaría el principio de exclusión de Pauli.

Sin embargo, aún nos quedan dos estados posibles, a saber $|+\rangle|-\rangle$ y $|-\rangle|+\rangle$ . No veo cómo exactamente su profesor encuentra dimensión uno para este espacio de Hilbert, ya que la suma de estos estados $\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle + |-\rangle|+\rangle)$ también es una solución aceptable (las cominaciones lineales surgen porque se quieren estados propios de operadores diferentes). La diferencia entre estas dos es que cuando se toma la diferencia se encuentra un espín total de $S = 0$ y cuando se toma la suma se tiene un giro total de $S = 1$ (giro total no es lo mismo que "giro hacia arriba" o "giro hacia abajo"). Quizá quieras preguntar a tu profesor sobre esta posibilidad.

TL; DR: El principio de exclusión de Pauli excluye ciertos estados, lo que reduce la dimensión de su espacio vectorial.

EDITADO: El $\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle + |-\rangle|+\rangle)$ es simétrico y, por tanto, se descarta debido a la estadística Fermi-Dirac. Gracias a fqq y Phoenix87 por darse cuenta de esto