Problema combinatorio de clasificación de N candidatos. Lo he resuelto de 1 forma, busco ayuda para hacerlo de otra forma.

Question

Me encontré con una pregunta de grinstead y snell:

Digamos que tiene N candidatos, que deben ser clasificados por un comité de 3 personas. Se seleccionará a un candidato si al menos dos personas le dan el número 1. Supongamos que los miembros del comité clasifican a los candidatos al azar. Halla la probabilidad de que un candidato sea aceptado.

Me está costando mucho arrancar. Tengo la respuesta correcta pero ni idea de cómo calcularla. Planteo todos los problemas de probabilidad así: Cuál es el espacio de probabilidad total, es decir, el número total de formas, y cuál es el número de resultados deseables.

En este caso mi intento es el siguiente:

Espacio de probabilidad total= nº de clasificaciones posibles diferentes. Que razono que es $n!*3$ porque digamos que hay n candidatos, el candidato "1" puede tener un total de n clasificaciones, lo que deja n-1 para el siguiente, etc. Hay 3 listas diferentes; por eso he multiplicado por 3.

Así que $3*n!$ debería ser mi denominador. Ahora calculo el número de resultados deseables. Un candidato puede ser clasificado 1º por 2 o por 3 personas. Puede ser clasificado en primer lugar por 2 personas de 3 maneras diferentes, y en primer lugar por 3 personas de una sola manera. Eso me da 4 totaL maneras en que un candidato puede ser seleccionado

Así pues, mi respuesta es $4/(3*n!)$

Sin embargo, esto es increíblemente incorrecto. La verdadera respuesta es $(3n-2)/n^3$ ¿Podría alguien orientarme en la dirección correcta?

También por cierto: hasta ahora en el libro no ha cubierto N elegir K fórmulas, así que siento que debería ser capaz de razonar esto puramente a través del conteo.

EDIT: He calculado la respuesta correcta usando simples matemáticas de probabilidad, SIN EMBARGO, me encantaría que alguien me ayudara a convertir la respuesta en: resultados deseables / número total de formas.

Contesta:

Probabilidad de ser elegido= 3 formas de ser elegido por 2 miembros + 1 forma de ser elegido por los 3

$3*((1/n)*(1/n)*(1-(1/n)) + (1/n)^3 $ = $(3n-2)/n^3$

Pero odio la forma en que lo hice. Quiero empezar calculando el espacio muestral total y dividirlo por el número de resultados deseables. ¿Hay alguna forma de hacerlo?

Answer 1

En primer lugar, creo que has interpretado mal la pregunta (puede que estuviera mal redactada). Estabas respondiendo "¿cuál es la probabilidad de que se elija a alguien?". Creo que la pregunta quería decir: "¿cuál es la probabilidad de que se elija a una persona determinada?".

Dicho esto, también hay que tener cuidado de no contar de más. Cuando se cuentan las formas en que una persona puede obtener dos votos, se permite que el tercer voto sea cualquier cosa. Esto significa que cuentas los casos en los que un candidato obtiene tres votos una vez como un caso de obtención de dos votos, y otra vez como un caso de obtención de tres votos.

La oportunidad que tiene una persona exactamente dos votos es $$\frac 1N\cdot\frac 1N-\frac1{N^3}=\frac{N-1}{N^3}.$$

Recuerde que hay tres maneras de obtener exactamente dos votos, por lo que este término se convierte en

$$\frac{3N-3}{N^3}$$

La posibilidad de que una persona obtenga los tres votos es simplemente $\frac 1{N^3}$ . En conjunto, tenemos

$$\frac{3N-3}{N^3}+\frac{1}{N^3}=\frac{3N-2}{N^3}.$$

Answer 2

Cada miembro del comité elige un candidato al azar, por lo que cada uno de los $N$ candidatos tiene un $1/N$ posibilidad de ser el número $1$ (o cualquier rango de $1$ a $N$ ya que estamos considerando que la elección se toma al azar) por un miembro. Hay $N$ candidatos en total y necesitamos al menos $2$ miembros del comité $3$ en el panel para colocar a un candidato en el número $1$ para que ganen. Para cada miembro hay $N$ personas para elegir, así que $3N$ en total si se tienen en cuenta todos los miembros. De esta cantidad se deducen los $2$ que hay que elegir como número $1$ dar $3N-2$ . Entonces, como cada uno de los $N$ candidatos tiene un $1/N$ probabilidad de ser elegido por un miembro, multiplicamos $3N-2$ por esta probabilidad $3$ veces dando la probabilidad requerida como $$(3N-2)\cdot\frac{1}{N}\cdot\frac{1}{N}\cdot\frac{1}{N}$$

Dado que la clasificación de los candidatos se elige al azar, la probabilidad de que un candidato sea elegido por al menos $2$ miembros en cualquier rango de $1$ a $N$ th.