En primer lugar, siento que el título sea un poco lioso, pero esto es lo que quiero preguntar: Que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo $K$ y que $S$ es el conjunto de todos los mapas lineales (endomorfismos) de $V$ en sí mismo. Demuestra que $V $ es un simple $S$ -espacio, que es el único $S$ -subespacios invariantes de $V$ son $V$ y el subespacio cero. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo hacerlo? Gracias
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ManuelSchneid3r
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Si por " $S$ -subespacio invariante" quiere decir "subespacio que es invariante bajo cada $f\in S$ entonces la afirmación ni siquiera necesita la hipótesis de la dimensión finita.
Supongamos que $A\subset V$ es un subespacio no trivial. Entonces $\alpha\in A$ sea distinto de cero, y que $\beta\in V\setminus A$ (tenga en cuenta que $0\in A$ tenemos $\beta\not=0$ trivialmente). Dado que $A$ es un subespacio, el conjunto $\alpha,\beta$ es linealmente independiente (¿por qué?). Así que - por el axioma de elección - podemos encontrar una base $B$ de $V$ con $\alpha,\beta\in B$ .
Consideremos ahora la función $\pi: B\rightarrow B$ intercambiando $\alpha$ y $\beta$ y dejando todos los demás elementos de $B$ fijo. Esto se extiende a un único $f\in S$ ya que $B$ es una base de $V$ y $A$ es claramente no $f$ -invariante.
Nótese que esto invoca el axioma de elección para obtener una base para $V$ . Sin el axioma de elección, no es necesario que existan bases para espacios vectoriales arbitrarios. Si $V$ es finito-dimensional Sin embargo, el axioma de elección no es necesario.
No estoy seguro de si la CA es necesaria para el caso general, pero sospecho que sí.
Sea $W$ sea un $S$ -subespacio invariante de $V$ y $dimW=r\leq n$ . Consideremos una base ordenada $B_V=\{v_1,\ldots,v_n\}$ de $V$ y una base ordenada $\{w_1,\ldots,w_r\}$ de $W$ . Completamos $B_W$ en una base ordenada $B_W=\{w_1,\ldots,w_r,w_{r+1},\ldots,w_n\}$ de $V$ donde $w_{r+1},\ldots,w_n\not\in W$ . Ahora, el mapa lineal $A$ del cambio de base $B_W$ a $B_V$ pertenece a $S$ y $Aw_i=v_i$ . Según nuestra hipótesis, $W$ es $S$ -invariante, por lo que $v_i$ pertenece a $W$ para cada $i=1,\ldots,r$ .
Podemos aplicar este argumento a cualquier ordenación posible de los elementos de $B_V$ y de $B_W$ y de esta forma hemos demostrado que $v_i\in W$ para cada $i=1,\ldots,n$ . Así $V=W$ .
