Prueba de que el espacio vectorial es simple sobre el conjunto de todos los endorfismos

Question

En primer lugar, siento que el título sea un poco lioso, pero esto es lo que quiero preguntar: Que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo $K$ y que $S$ es el conjunto de todos los mapas lineales (endomorfismos) de $V$ en sí mismo. Demuestra que $V$ es un simple $S$ -espacio, que es el único $S$ -subespacios invariantes de $V$ son $V$ y el subespacio cero. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo hacerlo? Gracias

Answer 1

Si por " $S$ -subespacio invariante" quiere decir "subespacio que es invariante bajo cada $f\in S$ entonces la afirmación ni siquiera necesita la hipótesis de la dimensión finita.

Supongamos que $A\subset V$ es un subespacio no trivial. Entonces $\alpha\in A$ sea distinto de cero, y que $\beta\in V\setminus A$ (tenga en cuenta que $0\in A$ tenemos $\beta\not=0$ trivialmente). Dado que $A$ es un subespacio, el conjunto $\alpha,\beta$ es linealmente independiente (¿por qué?). Así que - por el axioma de elección - podemos encontrar una base $B$ de $V$ con $\alpha,\beta\in B$ .

Consideremos ahora la función $\pi: B\rightarrow B$ intercambiando $\alpha$ y $\beta$ y dejando todos los demás elementos de $B$ fijo. Esto se extiende a un único $f\in S$ ya que $B$ es una base de $V$ y $A$ es claramente no $f$ -invariante.

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Nótese que esto invoca el axioma de elección para obtener una base para $V$ . Sin el axioma de elección, no es necesario que existan bases para espacios vectoriales arbitrarios. Si $V$ es finito-dimensional Sin embargo, el axioma de elección no es necesario.

No estoy seguro de si la CA es necesaria para el caso general, pero sospecho que sí.

Answer 2

Sea $W$ sea un $S$ -subespacio invariante de $V$ y $dimW=r\leq n$ . Consideremos una base ordenada $B_V=\{v_1,\ldots,v_n\}$ de $V$ y una base ordenada $\{w_1,\ldots,w_r\}$ de $W$ . Completamos $B_W$ en una base ordenada $B_W=\{w_1,\ldots,w_r,w_{r+1},\ldots,w_n\}$ de $V$ donde $w_{r+1},\ldots,w_n\not\in W$ . Ahora, el mapa lineal $A$ del cambio de base $B_W$ a $B_V$ pertenece a $S$ y $Aw_i=v_i$ . Según nuestra hipótesis, $W$ es $S$ -invariante, por lo que $v_i$ pertenece a $W$ para cada $i=1,\ldots,r$ .

Podemos aplicar este argumento a cualquier ordenación posible de los elementos de $B_V$ y de $B_W$ y de esta forma hemos demostrado que $v_i\in W$ para cada $i=1,\ldots,n$ . Así $V=W$ .