¿Existen dos funciones de valor real $f$ y $g$ en $R$ tal que $f \circ g = x^{2018}$ y $ g\circ f = x^{2019}$ ?
Mi intento : ya que $g \circ f $ es biyectiva, por tanto $f$ es uno y $g$ está dentro. Ahora $f \circ g(-x) = f \circ g(x) $ implica $ g(-x) = g(x) $ (porque $ f $ es uno uno) por lo tanto g es función par. Ahora no sé cómo proceder desde aquí cualquier pista será helpfull para mí.... (Sé que no existe tal mapa como respuesta)
$$g(f(x))=\ x^{2019}$$ $$=> f(g(f(x)))=f(\ x^{2019})$$ $$=> (f(x))^{2018}=f(x^{2019})$$ (por asociatividad de la composición de funciones)
no existen tales f y g porque $ f(1)=1, f(-1)=1 => g(1)=1$ y $ g({(-1)}^{2018})=-1$
contradicción demostrada
bien se puede argumentar f(1)=0
en ese caso considere $f(0),f(1),f(-1) $ tendrá un valor de 1 o 0 y por el principio de pigeon hole dos de ellos tendrán al menos el mismo valor por lo tanto hemos terminado
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