Raíces de $x^4 -6x^3 +x^2+10x +1=0$

Question

¿Cómo se puede demostrar que la siguiente función tiene 4 raíces reales? $$x^4 -6x^3 +x^2 +10x+1=0$$

El problema es que las raíces no parecen poder calcularse a mano.

Answer 1

He aquí una especie de prueba tramposa:

$$f(-5) = 1351 \\ f(-1) = -1 \\ f(1) = 7 \\ f(4) = -71 \\ f(7) = 463$$

Así que hay ceros en los intervalos $(-5,-1), (-1,1), (1,4)$ y $(4,7)$ porque los polinomios son funciones continuas.