¿Qué número se eliminó del primer $n$ ¿naturales?

Question

Se elimina un número del conjunto de enteros de $1$ a $n$ . Ahora, la media de los números restantes resulta ser $40.75$ . ¿Qué número entero se ha eliminado?

Por un poco de fuerza bruta, conseguí $61$ . Quiero saber si hay algún enfoque analítico.

Answer 1

La media de los enteros $1$ a través de $n$ es $\frac12(n+1)$ . La eliminación de un número menor que éste aumentará la media, y la eliminación de un número mayor que éste la reducirá. En particular, la eliminación de $1$ provocará el máximo aumento de la media, a

$$\frac1{n-1}\left(\frac{n(n+1)}2-1\right)=\frac{n^2+n-2}{2(n-1)}=\frac{(n+2)(n-1)}{2(n-1)}=\frac12(n+2)\;,$$

y la eliminación de $n$ provocará la máxima disminución de la media, a

$$\frac1{n-1}\left(\frac{n(n+1)}2-n\right)=\frac{n^2-n}{2(n-1)}=\frac{n}2\;.$$

La nueva media de $40.75$ por lo tanto debe estar entre $\frac{n}2$ y $\frac12(n+2)=\frac{n}2+1$ , inclusive. La vida se vuelve más fácil si duplicamos todo: $81.5$ debe estar entre $n$ y $n+2$ , inclusive. Es decir, $$n\le 81.5\le n+2\;,$$ y por lo tanto $$79.5\le n\le 81.5\;.$$ Desde $n$ debe ser un número entero, las únicas posibilidades son $n=80$ y $n=81$ .

La suma de los enteros $1$ a través de $80$ es $3240$ Así que si $n=80$ , necesita encontrar $k$ en el rango de $1$ a $80$ inclusive, de modo que $$\frac{3240-k}{79}=40.75\;.$$ Sin embargo, la solución de esta ecuación no es un número entero, por lo que $n$ debe ser $81$ .

La suma de los enteros $1$ a través de $81$ es $3321$ Así que esta vez quieres $k$ Satisfaciendo a $$\frac{3321-k}{80}=40.75\;,$$ que se resuelve fácilmente para encontrar que $k=61$ .

Answer 2

Queremos $\ \frac{n(n+1)}2-m=\frac {163(n-1)}4\ $ con $m\le n\ $ para que :

$n-1 = 4k$ con $k\in \mathbb{N}\ $ y la ecuación se convierte en :

$m=f(k)$ con $f(k):=(4k+1)(2k+1)- 163k\ $ y $1\le\ m\le 4k+1\ $

para que $k\approx \frac {163}{2\cdot 4}\approx 20$

Intentando $f(19)$ a $f(21)$ debería ser suficiente.

Answer 3

Sugerencia $\rm\displaystyle\ \frac{n(n\!+\!1)/2-k}{n\!-\!1}\, =\, \frac{n}2 + \frac{n\!-\!k}{n\!-\!1}\,\in\, \left[\frac{n}2,\frac{n}2\!+\!1\right] \ni40.75\ \Rightarrow\ n\in[81.5,79.5]\ \Rightarrow\ k = \ldots$