Demostración mediante leyes de equivalencia; $(a \lor b) \equiv (b \lor a)$ ?

Question

¿Es esta una progresión correcta para demostrar que $p \rightarrow (q \rightarrow r) \equiv q \rightarrow (p \rightarrow r)$ ?

$$\begin{align} p \rightarrow (q \rightarrow r) & \equiv p \rightarrow (q \rightarrow r) \\ & \equiv \neg p \lor (q \rightarrow r) \text{ implication law}\\ & \equiv \neg p \lor (\neg q \lor r) \text{ implication law}\\ & \equiv \neg q \lor (\neg p \lor r) \text { associative law}\\ & \equiv \neg q \lor (p \rightarrow r) \text{ implication law}\\ p \rightarrow (q \rightarrow r)& \equiv q \rightarrow (p \rightarrow r) \text{ implication law} \end{align}$$

Para el paso 4, he interpretado las Leyes Asociativas suponiendo que $(q \lor r) \equiv (r \lor q)$ . ¿Es una suposición que puedo hacer?

$$\neg p \lor (\neg q \lor r) \equiv (\neg p \lor \neg q) \lor r \equiv \neg q \lor (\neg p \lor r)?$$

¿Puedo interpretar las Leyes Asociativas de forma que $a \lor (b \lor c) \equiv \text{either } b \lor (a \lor c) \text{ or } c \lor (a \lor b)?$

Answer 1

Ésta no se basa en la asociatividad de la disyunción:

Si sustituyes las Q por Ps en todas partes tendrás la otra dirección.

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Explicación. Para demostrar que $p \rightarrow (q \rightarrow r) \equiv q \rightarrow (p \rightarrow r)$ bastará con hacer dos cosas:

1. asuma $p \rightarrow (q \rightarrow r)$ y derivar $q \rightarrow (p \rightarrow r)$

2. asuma $q \rightarrow (p \rightarrow r)$ y derivar $p \rightarrow (q \rightarrow r)$

La imagen muestra cómo se hace (1). Suponemos que $p \rightarrow (q \rightarrow r)$ . Ahora queremos derivar algo (a saber. $q \rightarrow (p \rightarrow r)$ ) que es un condicional, por lo que asumimos su antecedente (a saber. $q$ ) con la esperanza de derivar su consecuente (a saber. $(p \rightarrow r)$ ). Pero ese consecuente es también un condicional, así que para derivarlo suponemos su antecedente, a saber: $p$ . Ahora $p$ con la hipótesis inicial (Premisa 1 en la imagen), por modus ponens nos da $(q \rightarrow r)$ (esta es la premisa 4 de la imagen). A continuación utilizamos la $q$ asumimos (en la premisa 2) con que $(q \rightarrow r)$ por modus ponens de nuevo, para obtener $r$ . Ahora, para terminar. Desde que asumimos $p$ y obtuvo $r$ podemos concluir que $p \rightarrow r$ (Premisa 6). Por último, puesto que asumimos $q$ y obtuvo $p \rightarrow r$ podemos concluir que $q \rightarrow (p \rightarrow r)$ .

Lo mismo se hace para el paso (2).