Aproximaciones racionales arbitrariamente exactas de $\pi$ con límite de error explícito

Question

Me gustaría disponer de un método para calcular $\pi$ para el que tengo un límite explícito en el error, y que tiene la propiedad de que si hago el cálculo hasta una cierta precisión, pero luego necesito una precisión arbitrariamente más fina, puedo retomar el proceso de cálculo donde lo dejé en lugar de tener que empezar desde cero. A la luz del segundo requisito, no quiero tener que lidiar con, digamos, raíces cuadradas, porque sea cual sea la precisión con la que calcule las raíces para alcanzar la precisión deseada para $\pi$ , hay alguna precisión más fina para la que las aproximaciones de la raíz ya utilizadas habrían necesitado ser más precisas. Creo que, para evitar estos problemas, tendré que ceñirme a algoritmos en los que las operaciones requeridas se limiten a la aritmética sobre racionales.

La serie Maclaurin para $4\arctan(1)$ es un ejemplo de algoritmo que cumple estas propiedades: $$\pi=4\arctan(1)=4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}$$ Siempre que guarde el valor de $n$ para el último término que he añadido, es fácil reanudar el cálculo, y siempre sé que la magnitud del error es menor que la del término siguiente.

Sin embargo, sé que este algoritmo converge muy lentamente. ¿Qué algoritmos son más rápidos y cumplen las restricciones deseadas? Parece que un algoritmo de espita sin límites funcionaría, pero si no me equivoco, esos están sujetos a más limitaciones de las que me preocupo, así que quizá sea posible hacerlo mejor.

Answer 1

A continuación se presenta un análisis que le permitirá calcular $\pi$ rápidamente utilizando sólo operaciones aritméticas básicas. Si la conjetura inicial para $\pi$ es racional, entonces todos los números son racionales. La función $x \rightarrow \sin(x)$ aparece al principio, pero al final se obtiene una aproximación adecuada.

Las iteraciones de punto fijo permiten refinar una aproximación. Consideremos la iteración dada por $$x_{n+1} = g(x_n),$$ donde $$g(x) = x + \sin(x)$$ y $$x_0 \approx \pi$$ se elegirá más tarde. Es fácil ver que $\pi$ es un punto fijo para $g$ es decir, $$g(\pi) = \pi.$$ Ahora demostraremos que $x_n$ convergencias a $\pi$ cúbicamente, siempre que $x_0$ está suficientemente cerca de $\pi$ . Sea $x \in \mathbb{R}$ se dará. Por la fórmula de Taylor, existe al menos una $\xi$ entre $x$ y $\pi$ tal que $$ g(x) - \pi = g(x) - g(\pi) = g'(\pi)(x - \pi) + \frac{g''(\pi)}{2}(x - \pi)^2 + \frac{g^{(3)}(\xi)}{6}(x-\pi)^3.$$ Sin embargo, dado que $$g'(x) = 1 +\cos(x), \quad g''(x) = - \sin(x),$$ se reduce a $$ g(x) - \pi = \frac{g^{(3)}(\xi)}{6}(x-\pi)^3.$$ De ello se deduce que $$ |\pi - g(x)| \leq \frac{1}{6}|\pi-x|^3,$$ porque $$g^{(3)}(t) = - \cos(t)$$ está limitada por la unidad en todas partes. En términos de la iteración del punto fijo tenemos $$|\pi - x_{n+1}| \leq \frac{1}{6} |\pi - x_n|^3.$$ Por inducción, descubrimos que $$ |\pi - x_n| \leq \left(\frac{1}{6}\right)^{m(n)} |\pi - x_0|^{3^n}, \quad m(n) = \frac{3^n - 1}{2}.$$ La convergencia está garantizada si $x_0$ se elige de forma que $$|\pi - x_0|^3 < 1.$$

Esto nos deja con la tarea de calcular $x \rightarrow \sin(x)$ para $x$ cerca de $\pi$ . Para este problema utilizaremos la identidad trigonométrica $$\sin(3\theta) = 3 \sin(\theta) - 4 \sin(\theta)^3.$$ Sea $x$ estar cerca de $\pi$ y que $k$ sea un número entero grande, tal que $\theta_0 = x/3^k$ está cerca de $0$ y $$ \sin(\theta_0) \approx \theta_0 - \frac{1}{6} \theta_0^3 $$ es una aproximación aceptable. Ahora dejemos que $\theta_j = 3 \theta_{j-1}$ . Entonces por diseño $\theta_k = 3^k \theta_0 = x$ y puesto que $$ \sin( \theta_j) = 3 \sin(\theta_{j-1}) - 4 \sin(\theta_{j-1})^3$$ tenemos una iteración para calcular $x \rightarrow \sin(x)$ .

Answer 2

No estoy seguro de que te guste la serie de Ramanujan de conversión rápida, ya que hay una raíz cuadrada...

$$\frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$$

Si realmente odias el $\sqrt2$ prueba con alguna aproximación, por ejemplo $$\sqrt2\approx \frac{577}{408}$$

AÑADIDO:

Para que los términos de orden superior parezcan una serie geométrica, puedo derivar un límite de error muy laxo.

Usando la aproximación de Stirling: $$\frac{(4k)!}{(k!)^4}\approx \frac1{\sqrt2}\frac1{\pi^{3/2}}\frac{4^{4k}}{k^{3/2}}<\frac1{\sqrt2}\frac1{\pi^{3/2}}\frac{4^{4k}}{k}$$ También, $$1103+26390k<26391k$$

Así, el error $E$ para $\frac1\pi$ está limitada por $$E<C\sum^{\infty}_k\frac1{99^k}=\frac{C}{98\cdot99^{k-1}}$$ donde $k$ es el número de términos que toma y $$C=\frac{17594}{3267\pi^{3/2}}\approx 1$$ O, $$E\approx\frac1{99^k}\approx100^{-k}$$