Hallar el período de $g(x) = f(2^x,0)$ para $f(x,y) = f(2x + 2y, 2y - 2x)$

Question

Sea $f(x,y)$ sea una función que cumpla la condición $$ f(x,y) = f(2x + 2y, 2y - 2x) $$ con $x, y \in \mathbb{R}$ . Ahora definimos una función $g(x) := f(2^x, 0)$ .

Decida si $g(x)$ es periódico o no. Si lo es, halla su periodo.

Intento: No entendí el planteamiento. No entendí la función. He encontrado $g(x) = f(2^{x+1}, -2^{x+1})$ . Pero se confundió en cuanto a qué hacer a continuación.

Answer 1

Para todos $a$ tenemos \begin{align*} f(a,0)&=f(2a,-2a)\\[4pt] &=f(0,-2^3a)\\[4pt] &=f(-2^4a,2^4a)\\[4pt] &=f(-2^6a,0)\\[4pt] &=f(b,0)\;\;\;\text{[letting $b=-2^6a$]}\\[4pt] &=f(-2^6b,0)\\[4pt] &=f(-2^6(-2^6a),0)\\[4pt] &=f(2^{12}a,0)\\[4pt] \end{align*} por lo tanto, dejando que $a=2^x$ obtenemos $$g(x)=f(2^x,0)=f(a,0)=f(2^{12}a,0)=f(2^{12}2^x,0)=f(2^{x+12},0)=g(x+12)$$ así que $g$ es periódica.

Answer 2

Defina $h\colon \Bbb C\to \Bbb R$ como $h(z)=f(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z)$ es decir, $h(x+iy)=f(x,y)$ . En $(2x+2y)+(2y-2x)i=2(x+iy)(1-i)$ vemos que $h(z)=h(wz)$ con $w:=2(1-i)$ . por inducción, $h(z)=h(w^nz)$ para todos $n\in\Bbb N$ . Ahora desde $(1-i)^2=-2i$ vemos $\bigl(2(1-i)\bigr)^8=2^8\cdot (-2)^4i^4=2^{12}$ . Por lo tanto $h(z)=h(2^{12}z)$ que se traduce como $f(x,y)=f(2^{12}x,2^{12}y)$ y $g(x)=g(x+12)$ . Por lo tanto $12$ es a período de $g$ .

Tenga en cuenta que posible que $g$ también tiene periodos más pequeños que $12$ por ejemplo, $f,h,g$ puede ser constante. De hecho, las únicas funciones con $h(z)=h(wz)$ para todos $z$ que son continuo en $z=0$ son las constantes. Pero si no exigimos $f$ sea continua, podemos definir $g$ arbitrariamente (por lo tanto, ciertamente sin ningún período más pequeño) en, digamos, $[0,12[$ y a partir de ahí obtener una definición parcial de $h$ en $[1,2^{12}[$ puede definir $h$ arbitrariamente en el resto del cuadrilátero con vértices $1,2^{12}, 2-2i, 2^{13}-2^{13}i$ (excepto que los valores en los bordes deben coincidir), puede utilizar $h(wz)=h(z)$ ampliar $h$ a $\Bbb C\setminus\{0\}$ y defina $ h(0)$ arbitrariamente. Esto nos dará una $f$ con $f(x,y)=f(2x+2y,2y-2x)$ de forma que $g$ derivada de ella asume los valores en $[0,12[$ con la que empezamos.

Answer 3

Tenemos $$f(x,y)=f(2x+2y,2y-2x)=f(2(2x+2y+2y-2x),2(2y-2x-2y-2x))=f(8y,-8x)$$

Aplicándolo de nuevo obtenemos $$f(x,y)=f(8(-8x),-8(8y))=f(-2^6x,-2^6y)=f(-2^6(-2^6x),-2^6(-2^6y))=f(2^{12}x,2^{12}y)$$

Ahora tenemos $g(x)=f(2^x,0)=f(2^{12}2^x,0)=g(x+12)$ . Así $g$ es periódica. Un posible período es $12$ .