¿Hay un lema de intercambio para grupos de permutaciones?

Question

Tengo un conjunto $P$ de permutaciones de tamaño $s := |P|$.
Al aplicar repetidamente esas permutaciones puedo generar $m$ permutaciones (¿o alcanzar $m$ estados?) que constituyen el conjunto $M$. No puedo generar las mismas $m$ permutaciones con ningún subconjunto adecuado de $P$. Pero me pregunto si hay un subconjunto $X$ de $M$ con $|x| < s$ que pueda generar $M$.

Si estuviéramos hablando de un espacio vectorial, podría usar el lema de intercambio de Steinitz para demostrar que no puede haber una base que abarque todo el espacio más pequeña que una base existente con vectores linealmente independientes. Pero las cosas son bastante diferentes con un grupo de permutaciones, por ejemplo, las permutaciones no conmutan. ¿Cómo puedo demostrar que mi "base de grupo" es mínima?

Answer 1

Sea $n\ge4$. El grupo simétrico $S_n$ está generado por el conjunto de $(n-1)$ elementos $P=\{(1\ 2),(1\ 3),\dots,(1\ n)\}$ y por ningún subconjunto propio de $P$, pero el conjunto de $2$ elementos $X=\{(1\ 2),(1\ 2\ 3\ \dots n)\}$ también genera $S_n$.