¿Cuál es el número más pequeño con la primera cifra 1 que se triplica cuando esta cifra se traslada al final?

Question

Tengo una pregunta sobre los deberes, y aunque sé que a la gente generalmente no le gustan, me gustaría una pista sobre cómo empezar, por favor.

Un entero positivo comienza con el dígito 1 cuando se escribe en decimal. Cuando este dígito se traslada al final del número, éste se triplica. Encuentra el número más pequeño que tiene esta propiedad.

Sé que tiene que ver con la divisibilidad por 3. ¿Cómo debería empezar? ¿Podría alguien dar un comentario perspicaz que me permita resolverlo (sin sentirme engañado)?

Edición: Supongo que esa transferencia significa que 12345 se convertiría en 23451...

Answer 1

$x=1\cdot 10^n + t$ con $t < 10^n$

$y=10t+1 \implies y=3x$

$10t+1 = 3 \cdot 10^n + 3t \implies 7t=3 \cdot 10^n-1$

Así que la pregunta es: ¿cuál es el menor $n$ tal que $7$ divide $3 \cdot 10^n-1$ ?

Otra forma de expresarlo es: ¿cuánto dura el periodo en $3/7$ cuando se expresa en decimal?

Esto le dará el menor $x$ .

Answer 2

He aquí una solución alternativa más elemental (ampliando la respuesta de Rogelios):

Llamemos al número con el $1$ en la parte delantera $a$ y el otro $b$ . Entonces $a \times 3 = b$ .

Sabemos que $b$ tiene un $1$ en su último lugar así que $a$ debe tener un $7$ en su último lugar porque $7 \times 3 = 21$ es el único producto de tres que tiene un $1$ en su último lugar. Así que

$a = 7$ y $b = 7 \times 3 =21$

Ahora el último dígito de ambos números es correcto. Sin embargo, si $a$ termina con $7$ entonces $b$ tiene que terminar con $71$ en lugar de $21$ . Así que nos falta otro $50$ . ¿Cómo podemos conseguir otro $50$ en $b$ ? Añadiendo $50$ a $a$ ¡! Porque $5 \times 3 = 15$ es el único producto de tres que tiene un $5$ en su último lugar. Así que

$a = 57$ y $b = 57 \times 3 = 171$

Ahora los dos últimos dígitos son correctos. Sin embargo, como en el caso anterior, si $a$ termina con $57$ entonces $b$ tiene que terminar con $571$ en lugar de $171$ por lo que necesitamos otro $400$ . ¿Cómo podemos meter otros 400 en $b$ ? Añadiendo $800$ a $a$ ¡! Porque $8 \times 3 = 24$ es el único producto de tres que tiene un $4$ en su último lugar. Así que

$a = 857$ y $b = 857 \times 3 = 2571$

Ahora los tres últimos dígitos son correctos. ¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 3

He aquí una solución ligeramente diferente:

Debemos tener

$$ 10x + 1 = 3(x+10^k) $$

para algunos enteros no negativos $x$ y $k$ . Simplificando, obtenemos

$$ 7x = 3\times 10^k - 1 $$

así que

$$ 3\times 10^k \equiv 1 (\mod 7) $$

o

$$ 3 ^ {k+1} \equiv 1 (\mod 7) $$

Trabajando mod 7, tenemos $3^2\equiv2$ , $3^3\equiv6$ , $3^4\equiv4$ , $3^5\equiv5$ y $3^6\equiv1$ por lo que el mínimo $k$ es 5.

Así,

$$ 7x = 3\times10^5-1 = 299,999 $$

y $x=42,857$ los números son $428,571 = 3 \times 142,857$ .

Answer 4

Supongo que el último dígito es un 7 porque sólo $7 \times 3 =21$ producirá un número que termine en 1. Yo empezaría mostrando que un número de dos cifras es imposible (17) y luego intentaría $1a7$ o $1ab7$ escribir las ecuaciones en el formulario (por ejemplo, si se trata de un número de 4 cifras):

$$ 3 \times(1ab7) = ab71 $$ A partir de esto se puede extraer información escribiendo la expansión decimal, por ejemplo:

$$1ab7 = 1000 + 100 \times a + 10 \times b + 7$$

y tratar de averiguar cómo $a$ y $b$ están relacionados con

Answer 5

Pistas: el último dígito debe ser 7. El número es 142857