¿Campo de polinomios mod n?

Question

Tengo algunas preguntas y quiero que me las aclaren.

1) ¿Es correcto que se puede definir un campo $(Z_n, +, X)$ de enteros mod $n$ donde todos los elementos son enteros $a$ tal que $gcd(a, n)$ = $1$ ? En otras palabras, esto puede ser un campo incluso cuando $n$ no es primo, ¿siempre que eliminemos algunos elementos? ¿Alguien me puede decir si este campo partiular (si es un campo) tiene nombre?

2) Si llamamos al campo anterior $F$ entonces es $F(x)$ ¿un campo? Así que los únicos factores de polinomios son o bien cuadráticos (con raíces complejas sobre $C{(x)}$ ) o factores lineales de la forma $x-a$ para $a \in F$ ?

Answer 1

Sobre (1), como dice KCd es bastante fácil demostrar que no puede existir tal campo (aunque se puede hacer un grupo perfectamente bueno de esta manera).

Por ejemplo, supongamos que tenemos un conjunto $S \subset Z / nZ$ con suma y multiplicación módulo $n$ . Sea $\overline{m}$ sea la identidad multiplicativa, es decir $\overline{m}\overline{x} = \overline{x}$ para todos $\overline{x} \in S$ . Luego dejar que $x \in Z$ ser cualquier representante de $\overline{x}$ tenemos que $\overline{m} + \overline{m} + ... + \overline{m}$ ( $x$ veces) es igual a $\overline{x}$ . Así que $\overline{m}$ genera $S$ y todos los representantes de $S$ es múltiplo de $m$ . Obsérvese que el conjunto de clases de equivalencia es el mismo entonces si cambiamos a módulo $lcm(m,n)$ (ya que $\overline{x} = \overline{0}$ si $n \mid x$ lo que implica $lcm(n,m)$ divide $x$ de todos modos). Así, $S = mZ/lcm(n,m)Z = mZ/kmZ$ para algunos $k$ . Y entonces $mZ/mkZ \simeq Z/kZ$ que implica $k$ debe ser un primo, de lo contrario tenemos cero divisores.