¿Cómo encontrar el eje de rotación que maximiza el momento angular para un conjunto de puntos y velocidades discretos?

Question

Tengo un conjunto de partículas independientes (podemos suponer que con igual masa), distribuidas pseudoaleatoriamente en el espacio 3D, cada una con su propia velocidad individual.

¿Cuál es el proceso por el que podría determinar la orientación de un eje que maximizaría el momento angular alrededor de ese eje?

Quiero un método que no sea sólo ensayo y error, repasando una cuadrícula de posibles posiciones y ángulos de rotación (sé cómo hacerlo, ¡y lleva mucho tiempo!).

Nota: el eje de rotación debe pasar por el centro de masa.

Answer 1

El momento angular es una cantidad extensiva; es decir, el momento angular total de cualquier sistema compuesto es la suma de los momentos angulares de sus partes constituyentes

de aquí

Así, si se encontrara el COM del conjunto de partículas y su velocidad, podríamos encontrar una posición relativa a éste para maximizar el momento angular.

Dado que la magnitud del momento angular es $rmv$ donde $m$ es la masa total y $v$ la velocidad de la COM, sería un máximo para el punto más alejado de la COM en cualquier línea que pase por la COM y sea perpendicular a la velocidad de la COM.

En este punto, la orientación del eje sería perpendicular tanto al vector velocidad como a la línea que une el punto con el COM.

Answer 2

En esta derivación el momento angular total de cualquier número de partículas es

$\vec{L} = \vec{R} \times M \vec{V} + \sum_{i} \vec{r_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}}$ donde

$\vec{R}$ es el vector desde el origen (o posición del eje de rotación) hasta el centro de masa

$M\vec{V}$ es el momento del centro de masa (calcular una vez)

$\vec{r_{i}}$ es la posición de la partícula $i$ respecto al centro de masa.

$\vec{v_{i}}$ es la velocidad de la partícula $i$ respecto al centro de masa (si no quieres rotar tu sistema de coordenadas, basta con las velocidades brutas).

(Lo anterior es esencialmente lo que la respuesta de John Hunter describe en palabras)

Puede calcular el momento del centro de masa ( $M\vec{V}$ ) y el momento angular de espín $\vec{S} = \sum_{i} \vec{r_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}}$ una vez y recalcular a bajo coste $\vec{L}$ para cualquier $\vec{R}$ .

El mejor eje será paralelo al momento angular de giro para que contribuya al máximo. Esto proporciona el orientación a cualquier distancia. A continuación, elija una posición tal que $\vec{R}\times\vec{V}$ también es paralelo a $\vec{S}$ . Puede utilizar $\vec{R} \propto \vec{V}\times\vec{S}$ .

Aquí es donde la pregunta tal y como se plantea actualmente no está especificada de forma única, ya que se puede ampliar arbitrariamente la distancia para aumentar arbitrariamente $L = |\vec{L}|$ . Sin embargo, es posible que quiera elegir $\vec{R}=0$ colocando el eje en el posición del centro de masa de las partículas.

Para calcular la posición del centro de masa, se utiliza $\frac{\sum m_{i}\vec{x}_{i}}{\sum m_{i}}$ con datos $\vec{x}_{i}$ . Esto es necesario para calcular $r_{i}$ .

Answer 3

Puede haber una manera, sigue siendo una manera de programa de ordenador, pero puede ser más rápido.

El método consistiría en dejar variar la dirección del eje en pequeños pasos 0-1 para $a$ , $b$ , $c$ en un bucle anidado y calcular el momento angular total de un eje. Para ello tendríamos que encontrar el vector de la línea roja para cada partícula $Q_i$

Si el COM es (0,0,0) y la ecuación del eje es $A = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right]t$

donde $t$ es un parámetro, entonces el valor de $t$ para que la línea roja sea perpendicular al eje se encuentra de la siguiente manera:

$$\left[\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}x_i-at\\y_i-bt\\z_i-ct\end{array}\right]=0$$

que conduce al valor de $t_i$ para cada partícula

$$t_i = \frac{ax_i+by_i+cz_i}{a^2+b^2+c^2}$$

que encontraría el derecho $t_i$ entonces la línea roja tiene vector $$r_i = \left[\begin{array}{ccc}x_i-at_i\\y_i-bt_i\\z_i-ct_i\end{array}\right]$$

y el momento angular de la partícula $Q_i$ es entonces $mv_i \times r_i$ (producto cruzado), luego suma para todas las partículas usando la adición de vectores y encuentra la magnitud del resultado.

Guarda el valor y repite en el bucle anidado, y guarda los valores que superen al mejor anterior.

Digamos que el mejor $\left[\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right]$ fue $\left[\begin{array}{ccc}0.8\\0.4\\0.2\end{array}\right]$ a continuación, repita con un tamaño de paso más pequeño entre $\left[\begin{array}{ccc}0.7-0.9\\0.3 - 0.5\\0.1-0.3\end{array}\right]$

a continuación, reducir el tamaño del paso, repetir, etc ... tal vez podría hacerse automática. El programa se centraría entonces en la dirección del mejor eje.

Answer 4

Si aquí no hay rotación de cuerpos rígidos, entonces no existe tal cosa. El sistema tiene un vector de momento angular definido como

$$\vec{L} = \sum_i \vec{r}_i \times (m_i \vec{v}_i)$$

donde $\vec{r}_i$ es la posición de cada partícula respecto al centro de masa.

El vector momento angular tiene su propia dirección y magnitud.

Ahora pregunta,

¿Cuál es el proceso por el que podría determinar la orientación de un eje que maximizaría el momento angular alrededor de ese eje?

Pero no hay ningún proceso para encontrar el momento angular sobre algún otro eje, ya que esto implica una rotación sobre algún eje, y la premisa de la pregunta es sin ninguna rotación específica definida (cada partícula tiene su propia independiente velocidad).

Si usted podría especificar la cinemática rotacional de las partículas alrededor de un eje arbitrario, entonces el proceso sería el siguiente.

• Hallar los tres vectores de momento angular resultantes de tres ejes de rotación ortogonales unitarios, $\vec{L}_x$ , $\vec{L}_y$ , $\vec{L}_z$ .

• Combina los tres vectores como columnas de una matriz de momento de inercia de masa

  $$\mathrm{I} = \left\{ \begin{matrix} \vec{L}_x & \vec{L}_y & \vec{L}_x \end{matrix} \right\}$$

• Hallar los valores propios y vectores propios de la matriz, y los vectores forman las direcciones principales de rotación. La dirección asociada al mayor valor propio es la que maximiza el momento angular.

En resumen, no se pueden aplicar propiedades de cuerpo rígido a cosas que no son cuerpos rígidos. Al menos, no de una forma simplista que se limite a sumar cosas. Piensa en una cadena flotando en el espacio, y ¿qué importancia tiene el punto del centro de masa? Una fuerza aplicada a través del COM de una cadena va a trasladar y rotar la cadena, así que el significado del COM de un cuerpo no rígido es diferente de lo que piensas, y lo mismo ocurre con conceptos como el momento de masa de los tensores de inercia, que están bien definidos para los cuerpos rígidos, pero carecen de sentido para los cuerpos no rígidos.