Dividiendo primero $n$ primos en dos conjuntos con igual suma

Question

Dejemos que $N$ sea un número entero positivo. ¿Existe siempre $n>N$ de manera que el primer $n$ primos pueden dividirse en dos conjuntos con igual suma?

Si $n$ es par, la suma del primer $n$ primos es impar, por lo que no podemos realizar la división. Pero si $n$ es impar, podría ser posible. Por ejemplo, $2+3=5, 2+5+7=3+11, 2+3+11+13=5+7+17$ .

Answer 1

Sí, esto siempre es posible.

La carne de la prueba viene de Respuesta de drvitek a "¿Se puede dividir una secuencia prima en dos conjuntos de suma igual o consecutiva?" en MathOverflow. No voy a regurgitarlo aquí, pero he intentado seguirlo y me parece correcto.

Demuestra el resultado de que, dada la primera $n$ primos $\{p_1,\ldots,p_n\}$ podemos encontrar algunos $e_1,\ldots,e_n$ con $e_i = \pm 1$ tal que $$\left\vert \sum_{i=1}^n e_i p_i \right\vert \leq 1$$ Un simple argumento de paridad nos dice que si $n$ es impar, esta suma debe ser $0$ . A continuación, dividimos los primos en aquellos con coeficiente $+1$ y $-1$ y lo, una partición de la primera $n$ primos con igual suma.

De ello se deduce que para cualquier $N$ podemos elegir cualquier impar $n>N$ y encontrar tal partición de los primos. (Lo que parece más fuerte que simplemente algunos $n>N$ existe).