Inversos en conjuntos G

Question

Sea $G$ sea un grupo y $X$ sea un conjunto G.

Si $a \cdot x= b\cdot x$ para algunos $x \in X$ entonces $a=b$ (en Sol).

¿Es cierto? No entiendo muy bien la noción de "acción". Una parte de mí piensa que esto no es cierto ya que no sabemos si $x$ tiene una inversa. Pero otra parte de mí piensa que esto podría ser cierto si la acción es la multiplicación en un cierto conjunto (tal como $\mathbb{Z}$ ).

Ciertamente puedo ver que esto podría ser falso si la acción fuera la multiplicación en $\mathbb{Z_4}$ .

Answer 1

Desde $x$ no es un elemento del grupo, no tiene sentido decir que tiene un inverso.

Consideremos el grupo de simetría de un triángulo $\triangle ABC$ . Una rotación puede mover $A$ a $B$ pero también lo hace la reflexión a través de la línea que atraviesa $C$ y, sin embargo, la rotación no es lo mismo que la reflexión.

O considere el grupo de simetría de una esfera. Dos rotaciones cualesquiera alrededor del eje vertical fijarán el polo norte (es decir $R\cdot N=N$ donde $R$ es la rotación y $N$ es el polo norte) pero estas rotaciones pueden ser por diferentes ángulos y por lo tanto pueden ser diferentes elementos de grupo.

La condición de que $ax=bx~\Rightarrow a=b$ para todos $a,b\in G$ y $x\in X$ es que $G$ actúa semestralmente . Se puede equiparar lógicamente $ax=bx$ con $(b^{-1}a)x=x$ por lo que el hecho de que la acción sea semiregular equivale a que ningún elemento (no trivial) del grupo tenga un punto fijo.