Necesitamos demostrar si las siguientes series de funciones convergen en $||.||_2$ en [1,5]: $$\sum _1^\infty {sin^2(nx) \over n^2} $$ No tengo ni idea de cómo enfocarlo, me gustaría algunas indicaciones...
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Marko Riedel
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De hecho, podemos calcular a qué converge la serie. Obsérvese que $$\sum_{n\ge 1}\frac{\sin^2(nx)}{n^2} = \sum_{n\ge 1}\frac{1}{2} \frac{1-\cos(2nx)}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{1}{2} \sum_{n\ge 1} \frac{\cos(2nx)}{n^2}.$$ Reescríbelo de la siguiente manera: $$\frac{\pi^2}{12} - 2 x^2 \sum_{n\ge 1} \frac{\cos(n2x)}{(n2x)^2}.$$ Ahora la suma $$S(x) = \sum_{n\ge 1} \frac{\cos(nx)}{(xn)^2}$$ es armónico y se evaluó invirtiendo su transformada de Mellin en este Enlace MSE siendo el resultado $$S(x) = \frac{\pi^2}{6x^2} -\frac{\pi}{2x} +\frac{1}{4}.$$ Esto da para nuestra suma el valor $$\frac{\pi^2}{12} - 2 x^2 \left(\frac{\pi^2}{24x^2} -\frac{\pi}{4x} +\frac{1}{4}\right)$$ que se simplifica en $$\frac{\pi}{2} x - \frac{1}{2} x^2$$ en el intervalo $(0,\pi).$
De hecho, converge uniformemente. Sea $f_n(x)=a_nsin^2(nx)$ con $a_n=1/n^2$ . Entonces $\|f_n\|_{\infty}=max\|f_n(x)|=|a_n|$ .
Tenemos que $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ converge (exactamente a $π^2/6$ ) y por el Criterio de Weierstrass de convergencia de series tenemos que $\sum_{n=1}^\infty \|f_n\|_{\infty}$ converge y, por tanto $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converge uniformemente en $\Bbb R$ .
