Un teorema de Krull y su posible equivalencia con AC

Question

Un equivalente bien conocido del axioma de elección es el teorema del ideal máximo de Krull (1929): si $I$ es un ideal propio de un anillo $R$ (con unidad), entonces $R$ tiene un ideal máximo que contiene a $I$ . La prueba es fácil con el lema de Zorn. La inversa, Krull implica a Zorn, se debe a Hodges (1979).

Un anillo con un único ideal maximal se dice que es local. Un problema de tarea estándar es el siguiente: Demostrar que si $R$ es un anillo local con ideal máximo $M$ cada elemento fuera de $M$ es una unidad. La solución "habitual" es la siguiente: Sea $x$ sea una no unidad y que $I$ sea el ideal generado por $x$ . Por Krull, $I$ está contenido en un ideal maximal que, por localidad, debe ser $M$ .

Como la solución se basa en la CA, surge una pregunta natural:

¿Es el propio problema de los deberes equivalente a AC? Más concretamente, supongamos que en cada anillo local, cada elemento fuera del ideal maximal único es una unidad. ¿Implica esto AC?

Si la respuesta es negativa, ¿hay alguna prueba del problema de la tarea que no dependa de AC?

Answer 1

¡Buena pregunta! Creo que el ejercicio de los deberes implica AC.

De hecho, supongamos que su conclusión es válida, y dejemos que $R$ sea un anillo sin ideal maximal. Voy a demostrar que $R$ es cero, demostrando así el teorema de Krull (aplíquese esto a $R/I$ para un ideal propio $I$ ).

Sea $k$ sea su campo favorito. Entonces $k\times R$ es local : $0\times R$ es un ideal maximal, y cualquier ideal de un producto es de la forma $I\times J$ así porque $R$ no tiene ideal maximal, $0\times R$ es el único ideal maximal.

Por lo tanto, por el problema de la tarea, cualquier cosa fuera es invertible - pero $(1,0)$ está fuera. Esto demuestra que $0$ es invertible en $R$ Por lo tanto $R=0$ .