Existe un divisor linealmente equivalente a $P$ que no contenga $P$

Question

Sea $X$ sea una curva proyectiva no sinular sobre $\mathbb C$ y que $P\in X$ sea un punto cerrado. ¿Cuál es, en su opinión, la forma más fácil de demostrar que existe un divisor $D$ de $X$ que cumpla las siguientes condiciones:

1. $D$ es linealmente equivalente a $P$ .
2. $D$ no contiene $P$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Sé de buena fuente que Relapsarian está sufriendo una crisis de identidad en este momento, así que permítanme publicar el comentario anterior como respuesta a la apasionada sugerencia de @GeorgesElencwajg.

Sea $H_1$ y $H_2$ sean secciones hiperplanas no singulares de $X$ tal que $P$ se encuentra en $H_1$ pero no $H_2$ . Entonces el divisor que quieres es $D=P−H_1+H_2$ . ¿Por qué? "Nonsingular" significa que cada hiperplano se interseca $X$ transversalmente; eso implica en particular que el divisor $H_1$ contiene $P$ con coeficiente 1. Por otra parte $P$ no está en $H_2$ por lo que en el divisor $P-H_1+H_2$ terminamos sin término que implique $P$ .

Por último, (¡ejercicio!) dos hiperplanos cualesquiera en el espacio proyectivo son linealmente equivalentes, y la equivalencia lineal se conserva por restricción, por lo que $-H_1+H_2$ es un divisor principal en $X$ .