¿Cuántos números hay que elegir entre 100...999 para que tres de ellos tengan la misma suma de cifras?

Question

Una caja contiene 900 tarjetas enumeradas del 100 al 999 (cada número aparece una vez y sólo en una tarjeta). He cogido algunas tarjetas al azar sin mirarlas y he calculado la suma de los dígitos de cada una.
¿Cuántas tarjetas debo tomar como mínimo para asegurarme de tener tres tarjetas con la misma suma de dígitos?

---

Sabía que cada suma de cartas pertenece a conjuntos de $1$ a $27$ . Al notarlo, pensé que la respuesta sería $55$ pero no tuve en cuenta que sólo había $1$ tarjeta perteneciente a $1$ y $27$ . Por lo tanto, la respuesta fue $55-2$ .

Answer 1

Pista: ¿Cuántas sumas de dígitos diferentes hay para las tarjetas?

(la menor suma de dígitos es 1 de la tarjeta marcada con 100, la mayor es 27 de la tarjeta marcada con 999).

Aplique el principio del casillero a este resultado, observando que sólo hay una carta con suma igual a 1 y sólo una carta con suma igual a 27.

---

Como hay 27 sumas posibles diferentes en cada carta, el principio del encasillamiento dice que si tienes $(27\cdot 2 + 1)$ te garantizan tres de la misma categoría. Esto se basaba en la idea de que podías tener $(27\cdot 2)$ tarjetas, con dos en cada categoría y evitando tener tres en una misma categoría. Tenga en cuenta, sin embargo, que no puede tener dos en la categoría (suma=1) y no puede tener dos en la categoría (suma=27). Por lo tanto, una respuesta final para este problema sería $(27\cdot2+1-2)=53$ .