$(X \supset A)\wedge (X \supset B)|(Y\supset A) \wedge (Y \supset B)\to Y\supset X$ |Probar que $X=A \cup B$ .

Question

Acabo de recibir esta pregunta de Elon Lages'. Curso de Análisis Vol 1 .

Dados los conjuntos $A$ y $B$ , dejemos que $X$ sea un conjunto con las siguientes propiedades:

$1.$ $(X \supset A)\wedge (X \supset B)$ .

$2.$ $(Y\supset A) \wedge (Y \supset B)\to Y\supset X$

Demostrar que $X=A \cup B$ .

Lectura de la propiedad $1$ Sé que $A$ y $B$ están en $X$ pero no da la certeza de que sólo $A$ y $B$ están en $X$ . Al leer $2$ establece que si $Y$ contiene $A$ y $B$ También contiene $X$ esta propiedad me da la certeza de que $X$ sólo contiene $A$ y $B$ Por lo tanto $A \cup B =Y=X$ .

Ahora $A$ y $B$ podrían ser disjuntos, podrían tener una intersección pero $A\neq B$ y podría ser que $A=B$ . Entonces la fórmula que englobaría todas estas posibilidades sería $X=A \cup B$ .

¿Funcionaría esto como prueba?

Answer 1

Creo que tienes la idea correcta, pero intenta formalizar un poco más tu argumento/prueba. No es necesario que consideres todos los casos posibles: es decir,

• I. mostrar primero que debe seguirse de la propiedad $(1)$ que $A\cup B \subseteq X$ .

• II. En segundo lugar, demostrar que debe seguirse de la propiedad $(2)$ que $X \subseteq A \cup B$ .

Ahora, habiendo demostrado que I y II se mantienen, puedes concluir que $X = A\cup B$ sabiendo que para dos conjuntos, $X, Y$ , $$(X \subseteq Y \land Y \subseteq X) \iff X = Y$$