¿Es demostrable el teorema de Monsky en $\mathsf{RCA}_0$ ?

Question

Teorema de Monsky afirma que no es posible diseccionar un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área. La prueba de Monsky llamó la atención en parte porque utilizaba inesperadamente el hecho de que la valoración 2-ádica sobre $\mathbb{Q}$ puede ampliarse a $\mathbb{R}$ . No existe una forma canónica de extender la valoración 2-ádica a extensiones trascendentales de $\mathbb{Q}$ por lo que este paso de la prueba es muy arbitrario y no constructivo. La mayoría de la gente no esperaría que esas elecciones no canónicas fueran necesarias para demostrar algo tan concreto como el teorema de Monsky. (Ocasionalmente alguien incluso preguntar si la prueba de Monsky hace un uso esencial del axioma de elección ), pero la respuesta es no.

El mencionado "sentimiento no constructivo" me lleva a plantear la siguiente pregunta. En el lenguaje de Subsistemas de aritmética de segundo orden ¿se puede demostrar el teorema de Monsky en $\mathsf{RCA}_0$ ? Un posible escollo podría ser la existencia de bases de trascendencia, que es algo que no se pone en marcha hasta el $\mathsf{ACA}_0$ nivel. Así, por ejemplo, si nos dan algunos vértices candidatos con coordenadas que implican (digamos) los números $e$ y $\pi$ entonces no tenemos forma efectiva de determinar si $e$ y $\pi$ son algebraicamente independientes. Pero quizá no necesitemos realmente bases de trascendencia per se. Puesto que estamos utilizando la lógica clásica, tal vez podamos dividirnos en dos casos, según si $e$ y $\pi$ son algebraicamente dependientes o no, y argumente que la conclusión deseada se deduce en cualquiera de los dos casos?

Answer 1

Esto no es una respuesta a su pregunta porque no tengo ni idea de si este argumento se puede llevar a cabo en $RCA_0$ pero este hecho no parece mencionarse en ningún sitio fácilmente accesible a través de Google sobre el teorema de Monsky, así que parece bueno documentarlo en algún sitio (¡suponiendo que no me haya equivocado!). Podemos decir lo siguiente (¡a menos que me equivoque terriblemente en algo!):

Reclamación 1: Un sistema de ecuaciones polinómicas $P_1(x_1, \dots x_n) = \dots = P_k(x_1, \dots x_n)$ en $\mathbb{Q}$ tiene solución sobre $\mathbb{R}$ si tiene solución sobre los números algebraicos reales $\mathbb{R} \cap \overline{\mathbb{Q}}$ .

Reclamación 2: Para un número entero positivo fijo $k$ Teorema de Monsky para subdivisiones en $2k+1$ es equivalente a la afirmación de que ningún miembro de un conjunto finito específico de sistemas de ecuaciones polinómicas tiene solución sobre $\mathbb{R}$ .

El resultado es que el teorema de Monsky es cierto sobre $\mathbb{R}$ si es cierto sobre $\mathbb{R} \cap \overline{\mathbb{Q}}$ y, por lo tanto, que sólo tenemos que ampliar el $2$ -valoración de la finito ampliación de $\mathbb{Q}$ generado por las coordenadas de un contraejemplo algebraico potencial, que no es más que un campo numérico $K$ . Y esto se puede hacer sin chanchullos de ningún tipo, ya que basta con elegir un ideal primo de $\mathcal{O}_K$ tumbado $(2)$ . Así que no hay necesidad, hasta donde yo sé, de considerar ni un solo número trascendental en el argumento.

La afirmación 1 se deduce del hecho de que $\mathbb{R}$ es elementalmente equivalente a cualquier campo real cerrado, pero creo que también debería tener una demostración más elemental utilizando la teoría de la eliminación; espero que alguien más pueda completar los detalles y decir qué se necesita exactamente en la demostración.

La afirmación 2 es la reducción habitual de la geometría euclidiana a la teoría de campos reales cerrados: una disección de igual área del cuadrado unitario en $2k+1$ triángulos consiste en las coordenadas de una colección finita de puntos junto con una de un conjunto finito de finitamente muchas afirmaciones de que estos puntos 1) se encuentran dentro de la unidad cuadrada, y 2) definen triángulos con área $\frac{1}{2k+1}$ (es posible que queramos trazar diferentes líneas entre los puntos para definir diferentes conjuntos de triángulos, pero para $k$ fijo sólo hay finitamente muchas configuraciones posibles). Un número real $x$ se encuentra en $[0, 1]$ si $\exists y_1 : x = y_1^2$ y $\exists y_2 : 1 - x = y_2^2$ y el área de un triángulo es un polinomio cuadrático en las coordenadas de sus vértices, por lo que la conclusión es que para $k$ la existencia de una disección de igual superficie en $2k+1$ triángulos es equivalente a la existencia de una solución a uno de un conjunto finito de sistemas de polinomios cuadráticos.