Tratamiento de relaciones cruzadas ( transformaciones lineales fraccionarias )

Question

Según Remmert, existe una relación entre los cocientes cruzados:

$$C(z,u,v,w) = \frac{(z-v)(u-w)}{(z-w)(u-v)} \text{ and } C(z,v,u,w)= \frac{(z-u)(v-w)}{(z-w)(v-u)}$$ donde $z,u,v,w \in \mathbb{C}$

He intentado multiplicar las cosas para ver una relación, pero no veo nada. ¿Qué puede significar "relación"?

Otra cuestión se refiere al valor de la relación cruzada: ¿En cuál de los tres arcos que atraviesan $u,v,w$ debe estar z para que $0 < C(z,u,v,w) < 1$ ?

¿Cómo se ve que debe haber tres arcos a través de u,v,w sin trazar y cómo podemos caracterizar la relación cruzada sin trazar?

Gracias por todas las sugerencias.

Answer 1

La relación cruzada $C(\cdot,\cdot,\cdot,\cdot)$ es una función de cuatro variables complejas, no siendo dos de ellas iguales. Cuando los valores de estas variables se permutan el valor $\lambda$ de $C$ sufre una cierta transformación racional, por ejemplo, $\lambda\mapsto{\lambda\over\lambda-1}$ en función de la permutación elegida. La dirección $24$ permutaciones producen $6$ (en casos especiales menos) valores diferentes de $C$ . Para más información Wikipedia artículo.