Encontrar una función continua para resolver el siguiente problema de optimización.

Question

Supongamos que tenemos un conjunto compacto $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ particionado como $\Omega = \bigcup_{j=1}^n \Omega_j$ con eso $\Omega_i \cap \Omega_j = \emptyset$ si $i \neq j$ . Definir para $y_1,\ldots y_n \in \mathbb{R}$

$$s = \sum_{j=1}^n y_j \chi_{A_j}$$

(Esencialmente una función simple sobre $\Omega$ ). Me preguntaba si hay. Supongamos también $m$ es la medida de Lebeasgue. Me pregunto si el siguiente problema

$$E(f) = \frac{1}{2}\int_{\Omega} (f-s)^2dm$$

Tiene solución con $f$ continua. Un primer intento que hice fue utilizar las ecuaciones de Euler Lagrange, pero esto me da $f = s$ que no es necesariamente continua. Aparte de este intento, creo que podría utilizar, por ejemplo, el teorema de Stone-Weirstrass, que me daría un subespacio denso en $C(\Omega)$ y tal vez buscar allí la solución. Sin embargo, creo que todavía puedo utilizar las ecuaciones de Euler Lagrange algo, pero tal vez tengo que imponer mejor la restricción como

$$\left\{ \begin{array}{l} \text{minimize} \;E(f) \\ s.t. \;\;f \in C(\Omega) \end{array} \right.$$

Pero no se me ocurre ninguna forma (al menos entre las herramientas que conozco) que me permita resolver el problema.

¿Alguien puede sugerir algo para buscar tal vez?

Answer 1

Puede aproximar $s$ arbitrariamente por una función lineal continua a trozos. por ejemplo, que la función sea $y_j$ en $\Omega_j$ excepto en un subconjunto arbitrariamente pequeño del mismo para que pueda saltar linealmente al otro $y_j$ (esto no es riguroso, pero deberías ser capaz de hacerlo más preciso; esto es sólo un esbozo). Así pues, el ínfimo de $E$ es $0$ . Supongamos ahora que existe una $f$ tal que $E(f) = 0$ . Esto implicaría $f=s$ casi en todas partes. Reordenar el $y_j's$ s.t. $y_1\le y_2 \le...\le y_n$ . Al menos dos de ellas no son iguales (de lo contrario s sería continua). WLOG los nombra $y_1$ y $y_2$ . Entonces para $\epsilon$ lo suficientemente pequeño $f^{-1}((y_1+\epsilon,y_2-\epsilon))$ es un conjunto abierto por continuidad de $f$ y por tanto la integral sobre este conjunto de $(f-s)^2$ es estrictamente positivo, lo que lleva a una contradicción. Nótese que he supuesto $f$ alcanza el valor de $y_1$ y $y_2$ (de ahí que el conjunto abierto anterior no sea vacío por el teorema del valor intermedio) ya que $f$ debe ser igual a $s$ casi en todas partes y supongo $\Omega_j$ tienen medida positiva. Si no es así, le dejo que modifique el argumento.

Answer 2

No, no hay una función que dé el ínfimo, sino que se basa en la Proposición 22, Capítulo 3, Sección 5 de Royden's: Real Analysis anf Exercice 15, Chapter 4 of this book, podemos encontrar para cada $\epsilon >0$ (ya que s(.) es medible acotada) una función continua tal que :

$\int _{\Omega}\left| f(x)-s(x)\right| dx\,<\,\epsilon$ .

Por lo tanto, existe una secuencia $f_{n}$ de funciones continuas tales como

que $\,\,E(f_{n})\,\to\,0$ PERO no hay UNA función continua

$f$ ¡¡alcanzar el infimum!!

Por ejemplo $s(x)=0$ en

$[0,1)$ y $s(x)=1$ en $[1,2]$ . Está claro que NO

función continua que da $E(f)=0$ pero $inf_{f}\,E(f)=0$ ¡¡!!